Номер 294, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

294. Докажите, что если у равнобедренных треугольников равны углы при вершине, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $AB=BC$ и $\angle A = \angle C$. В $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $A_1B_1=B_1C_1$ и $\angle A_1 = \angle C_1$. Углы $\angle B$ и $\angle B_1$ являются углами при вершине, противолежащими основаниям.

По условию задачи, углы при вершине этих треугольников равны. Обозначим их величину через $\alpha$:

$\angle B = \angle B_1 = \alpha$

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используем это свойство, чтобы найти величины углов при основании для каждого треугольника.

Для $\triangle ABC$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Поскольку $\angle A = \angle C$, то можно записать:

$2\angle A + \angle B = 180^\circ$

$2\angle A + \alpha = 180^\circ$

$\angle A = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

Таким образом, $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$.

Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$:

$\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$

$2\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$

$2\angle A_1 + \alpha = 180^\circ$

$\angle A_1 = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

Таким образом, $\angle A_1 = \angle C_1 = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$.

Сравнивая углы обоих треугольников, мы видим, что все их соответственные углы равны:

$\angle A = \angle A_1 = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

$\angle B = \angle B_1 = \alpha$

$\angle C = \angle C_1 = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. В нашем случае равны все три пары соответственных углов.

Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.