Номер 290, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

290. Изобразите произвольный треугольник $ABC$. На луче $AB$ за точку $B$ отложите отрезок $BB_1$, в 2 раза больший отрезка $AB$, на луче $AC$ за точку $C$ отложите отрезок $CC_1$, в 2 раза больший отрезка $AC$.

Объясните, почему подобны треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$. Чему равен коэффициент подобия?

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ для доказательства их подобия и нахождения коэффициента.

Для доказательства подобия воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

1. Найдём длины сторон $AB_1$ и $AC_1$.
По условию, точка $B_1$ находится на луче $AB$ за точкой $B$, следовательно, отрезок $AB_1$ равен сумме отрезков $AB$ и $BB_1$. $AB_1 = AB + BB_1$
Из условия известно, что $BB_1 = 2 \cdot AB$. Подставив это значение, получаем: $AB_1 = AB + 2 \cdot AB = 3 \cdot AB$
Аналогично, точка $C_1$ находится на луче $AC$ за точкой $C$. Отрезок $AC_1$ равен сумме отрезков $AC$ и $CC_1$. $AC_1 = AC + CC_1$
Из условия известно, что $CC_1 = 2 \cdot AC$. Подставив это значение, получаем: $AC_1 = AC + 2 \cdot AC = 3 \cdot AC$

2. Сравним элементы треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$.
Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle BAC = \angle B_1AC_1$.
Теперь проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу. Найдем отношение стороны $AB_1$ к стороне $AB$: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{3 \cdot AB}{AB} = 3$
Найдем отношение стороны $AC_1$ к стороне $AC$: $\frac{AC_1}{AC} = \frac{3 \cdot AC}{AC} = 3$
Поскольку $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = 3$ и угол между этими сторонами ($\angle A$) общий, треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия.

Ответ: Треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия, так как у них есть общий угол $A$, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны с коэффициентом 3 ($\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$).

Коэффициент подобия $k$ — это число, равное отношению длин соответственных сторон подобных треугольников. Мы уже нашли это отношение при доказательстве подобия. $k = \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = 3$

Ответ: Коэффициент подобия равен 3.