Гимнастика ума, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

В треугольнике провели три высоты (рис. 269). Сколько пар подобных треугольников образовалось при этом?

Рис. 269

Для решения этой задачи мы найдем все группы подобных треугольников, образовавшихся после проведения трех высот в остроугольном треугольнике $ABC$. Подобие будем устанавливать по двум углам (признак AA).

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM \perp BC$, $BN \perp AC$ и $CK \perp AB$. Точка их пересечения — ортоцентр $H$. Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A, \angle B, \angle C$.

Так как треугольник остроугольный (как показано на рисунке), ортоцентр $H$ находится внутри него. Найдем углы всех малых треугольников, выразив их через углы $\angle A, \angle B, \angle C$.

Из прямоугольных треугольников, образованных высотами, имеем:

• $\triangle ABN$: $\angle ABN = 90^\circ - \angle A$
• $\triangle ACK$: $\angle ACK = 90^\circ - \angle A$
• $\triangle BАM$: $\angle BAM = 90^\circ - \angle B$
• $\triangle BCK$: $\angle BCK = 90^\circ - \angle B$
• $\triangle CAM$: $\angle CAM = 90^\circ - \angle C$
• $\triangle CBN$: $\angle CBN = 90^\circ - \angle C$

Теперь рассмотрим 4 группы подобных треугольников.

Эти треугольники имеют углы $A$, $90^\circ$ и $90^\circ - A$.

1. $\triangle ANB$: $\angle A$ — общий, $\angle ANB = 90^\circ$.
2. $\triangle AKC$: $\angle A$ — общий, $\angle AKC = 90^\circ$.
3. $\triangle HKB$: $\angle BKH = 90^\circ$, $\angle KBH = \angle ABN = 90^\circ - \angle A$, следовательно $\angle KHB = \angle A$.
4. $\triangle HMC$: $\angle CMH = 90^\circ$, $\angle HCM = \angle ACK = 90^\circ - \angle A$, следовательно $\angle MHC = \angle A$.

Все 4 треугольника ($\triangle ANB, \triangle AKC, \triangle HKB, \triangle HMC$) подобны друг другу. Количество пар подобных треугольников из группы в 4 элемента равно $C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Эти треугольники имеют углы $B$, $90^\circ$ и $90^\circ - B$.

1. $\triangle AMB$: $\angle B$ — общий, $\angle AMB = 90^\circ$.
2. $\triangle CKB$: $\angle B$ — общий, $\angle CKB = 90^\circ$.
3. $\triangle HNA$: $\angle ANH = 90^\circ$, $\angle HAN = \angle BAM = 90^\circ - \angle B$, следовательно $\angle AHN = \angle B$.
4. $\triangle HNC$: $\angle CNH = 90^\circ$, $\angle HCN = \angle BCK = 90^\circ - \angle B$, следовательно $\angle CHN = \angle B$.

Все 4 треугольника ($\triangle AMB, \triangle CKB, \triangle HNA, \triangle HNC$) подобны друг другу. Это дает еще 6 пар.

Эти треугольники имеют углы $C$, $90^\circ$ и $90^\circ - C$.

1. $\triangle AMC$: $\angle C$ — общий, $\angle AMC = 90^\circ$.
2. $\triangle BNC$: $\angle C$ — общий, $\angle BNC = 90^\circ$.
3. $\triangle HKA$: $\angle AKH = 90^\circ$, $\angle KAH = \angle CAM = 90^\circ - \angle C$, следовательно $\angle AHK = \angle C$.
4. $\triangle HMB$: $\angle BMH = 90^\circ$, $\angle MBH = \angle CBN = 90^\circ - \angle C$, следовательно $\angle MHB = \angle C$.

Все 4 треугольника ($\triangle AMC, \triangle BNC, \triangle HKA, \triangle HMB$) подобны друг другу. Это дает еще 6 пар.

Эти треугольники имеют углы $\angle A, \angle B, \angle C$.

1. $\triangle ABC$: исходный треугольник.
2. $\triangle ANK$: $\angle A$ — общий. Так как точки $B, C, N, K$ лежат на одной окружности (с диаметром $BC$), то $\angle ANK$ (внешний для четырехугольника $BCNK$) равен $\angle B$, а $\angle AKN = \angle C$.
3. $\triangle MBK$: $\angle B$ — общий. Так как точки $A, C, M, K$ лежат на одной окружности (с диаметром $AC$), то $\angle BMK$ (внешний) равен $\angle A$, а $\angle BKM = \angle C$.
4. $\triangle MNC$: $\angle C$ — общий. Так как точки $A, B, M, N$ лежат на одной окружности (с диаметром $AB$), то $\angle CMN$ (внешний) равен $\angle A$, а $\angle CNM = \angle B$.

Все 4 треугольника ($\triangle ABC, \triangle ANK, \triangle MBK, \triangle MNC$) подобны друг другу. Это дает еще 6 пар.

Существуют также три пары подобных треугольников, которые не входят в предыдущие группы.

1. $\triangle ABH \sim \triangle HNM$. Углы $\triangle ABH$: $\angle HAB = 90^\circ - \angle B$, $\angle HBA = 90^\circ - \angle A$, $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$. Углы $\triangle HNM$: $\angle HMN = 90^\circ - \angle B$, $\angle HNM = 90^\circ - \angle A$, $\angle MHN = 180^\circ - \angle C$.
2. $\triangle BCH \sim \triangle HKN$. Углы $\triangle BCH$: $\angle HBC = 90^\circ - \angle C$, $\angle HCB = 90^\circ - \angle B$, $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$. Углы $\triangle HKN$: $\angle HKN = 90^\circ - \angle B$, $\angle HNK = 90^\circ - \angle C$, $\angle KHN = 180^\circ - \angle A$.
3. $\triangle CAH \sim \triangle HKM$. Углы $\triangle CAH$: $\angle HAC = 90^\circ - \angle C$, $\angle HCA = 90^\circ - \angle A$, $\angle CHA = 180^\circ - \angle B$. Углы $\triangle HKM$: $\angle HKM = 90^\circ - \angle C$, $\angle HMK = 90^\circ - \angle A$, $\angle KHM = 180^\circ - \angle B$.

Эти три пары не подобны между собой (в общем случае), поэтому они дают 3 отдельные пары.

Суммируем количество пар из всех групп:

• Группа 1: 6 пар
• Группа 2: 6 пар
• Группа 3: 6 пар
• Группа 4: 6 пар
• Группа 5: 3 пары

Общее количество пар подобных треугольников: $6 + 6 + 6 + 6 + 3 = 27$.

Ответ: 27 пар подобных треугольников.