Номер 288, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

288. Стороны одного из двух подобных треугольников равны 6 см и 12 см, другого — 12 см и 18 см. Найдите неизвестные стороны каждого из треугольников, если коэффициент подобия второго треугольника первому:

а) целое число;

б) дробное число.

Пусть стороны первого треугольника ($T_1$) равны $a_1=6$ см, $b_1=12$ см и $c_1=x$ см. Пусть стороны второго треугольника ($T_2$) равны $a_2=12$ см, $b_2=18$ см и $c_2=y$ см. Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. По условию, $k$ — это коэффициент подобия второго треугольника первому. Это означает, что стороны второго треугольника получаются умножением соответственных сторон первого треугольника на $k$. Обозначим множества длин сторон треугольников как $S_1 = \{6, 12, x\}$ и $S_2 = \{12, 18, y\}$. Таким образом, множество сторон второго треугольника можно представить как $S_2 = \{6k, 12k, xk\}$. Следовательно, мы имеем равенство множеств: $\{12, 18, y\} = \{6k, 12k, xk\}$.

По условию, коэффициент подобия $k$ — целое число. Рассмотрим возможные значения $k$, исходя из того, что известные стороны второго треугольника (12 и 18) должны быть равны каким-то из произведений $6k$ или $12k$.

1. Предположим, что сторона 12 см второго треугольника соответствует стороне 6 см первого треугольника. Тогда $12 = 6k$, откуда $k=2$. Это целое число, поэтому данный случай возможен. В этом случае, множество сторон второго треугольника $S_2$ должно быть равно $\{6 \cdot 2, 12 \cdot 2, x \cdot 2\} = \{12, 24, 2x\}$. Сравнивая это с известным множеством сторон $S_2 = \{12, 18, y\}$, получаем равенство множеств:$\{12, 24, 2x\} = \{12, 18, y\}$. Отсюда следует, что оставшиеся элементы также должны быть равны: $\{24, 2x\} = \{18, y\}$. Это равенство выполняется, если $2x = 18$ и $y = 24$. Из этих уравнений находим неизвестные стороны: $x = 18 / 2 = 9$ см, а $y = 24$ см. Проверим, могут ли существовать треугольники с такими сторонами, используя неравенство треугольника. Для первого треугольника со сторонами 6 см, 12 см, 9 см: $6+9 = 15 > 12$. Неравенство выполняется, треугольник существует. Для второго треугольника со сторонами 12 см, 18 см, 24 см: $12+18 = 30 > 24$. Неравенство выполняется, треугольник существует. Следовательно, это решение является верным.

2. Предположим, что сторона 18 см второго треугольника соответствует стороне 6 см первого треугольника. Тогда $18 = 6k$, откуда $k=3$. Это также целое число. Множество сторон второго треугольника $S_2$ должно быть равно $\{6 \cdot 3, 12 \cdot 3, x \cdot 3\} = \{18, 36, 3x\}$. Сравнивая с $S_2 = \{12, 18, y\}$, получаем:$\{18, 36, 3x\} = \{12, 18, y\}$. Отсюда $\{36, 3x\} = \{12, y\}$. Это равенство возможно, если $3x = 12$ и $y = 36$. Тогда $x = 12 / 3 = 4$ см, а $y = 36$ см. Проверим неравенство треугольника для первого треугольника со сторонами 6 см, 12 см, 4 см: $6+4 = 10$, что не больше 12. Такой треугольник не существует, так как сумма двух его сторон не превышает третью. Следовательно, этот случай не является решением.

Другие варианты (например, $12=12k \implies k=1$) приводят к вырожденному треугольнику. Таким образом, единственное подходящее решение для целого коэффициента подобия - это $k=2$.
Ответ: неизвестная сторона первого треугольника равна 9 см, неизвестная сторона второго треугольника — 24 см.

По условию, коэффициент подобия $k$ — дробное число. Проанализируем возможные соотношения между известными сторонами. Дробное значение $k$ можно получить, если соотнести сторону 18 см второго треугольника со стороной 12 см первого. Тогда $18 = 12k$, откуда $k = 18 / 12 = 3/2 = 1.5$. Это дробное число, удовлетворяющее условию.

При $k = 1.5$ множество сторон второго треугольника $S_2$ равно $\{6 \cdot 1.5, 12 \cdot 1.5, x \cdot 1.5\} = \{9, 18, 1.5x\}$. Сравнивая это с известным множеством сторон $S_2 = \{12, 18, y\}$, получаем:$\{9, 18, 1.5x\} = \{12, 18, y\}$. Отсюда следует равенство оставшихся элементов: $\{9, 1.5x\} = \{12, y\}$. Это возможно, если $1.5x = 12$ и $y = 9$. Находим неизвестные стороны: $x = 12 / 1.5 = 8$ см, а $y = 9$ см. Проверим существование треугольников с помощью неравенства треугольника. Для первого треугольника со сторонами 6 см, 12 см, 8 см: $6+8 = 14 > 12$. Треугольник существует. Для второго треугольника со сторонами 12 см, 18 см, 9 см: $9+12 = 21 > 18$. Треугольник существует. Данное решение является верным.

Все другие возможные комбинации известных сторон приводят к целым значениям $k$, которые были рассмотрены в пункте а).
Ответ: неизвестная сторона первого треугольника равна 8 см, неизвестная сторона второго треугольника — 9 см.