Номер 285, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

285. На рисунке 263 $MBCK$ — трапеция со сторонами, равными 10 м, 15 м, 4 м и 6 м. Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к периметру трапеции.

Рис. 263

Для решения задачи необходимо найти периметры треугольника ABC и трапеции MBCK, а затем вычислить их отношение.

Найдем периметр трапеции MBCK. Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. По условию и данным на рисунке, стороны трапеции равны $MB = 4$ м, $BC = 15$ м, $CK = 6$ м и $KM = 10$ м. Периметр трапеции $P_{MBCK}$ равен: $P_{MBCK} = MB + BC + CK + KM = 4 + 15 + 6 + 10 = 35$ м.

Найдем периметр треугольника ABC. Для этого сначала нужно определить длины его сторон AB и AC. Длина стороны BC известна: $BC=15$ м. Поскольку четырехугольник MBCK является трапецией, его основания параллельны. Из расположения фигуры внутри треугольника ABC следует, что основаниями являются стороны MK и BC, то есть $MK \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$. Так как прямая MK параллельна прямой BC, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $\triangle AMK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ ($\triangle AMK \sim \triangle ABC$). Подобие следует из того, что $\angle A$ — общий для обоих треугольников, а углы $\angle AMK$ и $\angle ABC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых MK и BC и секущей AB.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению длин их соответственных сторон: $k = \frac{MK}{BC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Из подобия треугольников следует, что отношения длин других соответственных сторон также равны коэффициенту подобия: $\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = k = \frac{2}{3}$

Из рисунка видно, что $AB = AM + MB = AM + 4$ и $AC = AK + KC = AK + 6$. Подставим эти выражения в пропорции, чтобы найти неизвестные стороны. Для стороны AB: $\frac{AM}{AM + 4} = \frac{2}{3}$ $3 \cdot AM = 2(AM + 4)$ $3 \cdot AM = 2 \cdot AM + 8$ $AM = 8$ м. Следовательно, полная длина стороны AB равна: $AB = AM + MB = 8 + 4 = 12$ м.

Аналогично для стороны AC: $\frac{AK}{AK + 6} = \frac{2}{3}$ $3 \cdot AK = 2(AK + 6)$ $3 \cdot AK = 2 \cdot AK + 12$ $AK = 12$ м. Следовательно, полная длина стороны AC равна: $AC = AK + KC = 12 + 6 = 18$ м.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника ABC, зная все его стороны: $AB = 12$ м, $BC = 15$ м, $AC = 18$ м. $P_{ABC} = AB + BC + AC = 12 + 15 + 18 = 45$ м.

Найдем отношение периметра треугольника ABC к периметру трапеции MBCK. Искомое отношение равно: $\frac{P_{ABC}}{P_{MBCK}} = \frac{45}{35}$ Сократим дробь на 5: $\frac{45}{35} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{9}{7}$.