Номер 296, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

296. Известно, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

a) Если $AB = 21$ см, $BC = 27$ см, $B_1C_1 = 9$ см, $A_1C_1 = 10$ см, то чему равен периметр треугольника $ABC$?

б) Если $A_1B_1 = 4$ см, $B_1C_1 = 6$ см, $A_1C_1 = 8$ см, $P_{ABC} = 27$ см, то чему равна длина наибольшей стороны треугольника $ABC$?

a)

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Нам известны длины соответственных сторон $BC$ и $B_1C_1$. Найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{27 \text{ см}}{9 \text{ см}} = 3$

Теперь мы можем найти длину стороны $AC$, используя сторону $A_1C_1$ и коэффициент подобия $k$:

$AC = k \cdot A_1C_1 = 3 \cdot 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 21 \text{ см} + 27 \text{ см} + 30 \text{ см} = 78 \text{ см}$

Ответ: 78 см.

б)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Сначала найдем периметр треугольника $A_1B_1C_1$:

$P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} + 8 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Теперь найдем коэффициент подобия $k$, зная периметры обоих треугольников:

$k = \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{27 \text{ см}}{18 \text{ см}} = \frac{3}{2}$

В подобных треугольниках наибольшая сторона одного треугольника соответствует наибольшей стороне другого. В треугольнике $A_1B_1C_1$ наибольшей стороной является $A_1C_1 = 8 \text{ см}$.

Следовательно, наибольшей стороной треугольника $ABC$ будет сторона $AC$. Найдем ее длину, используя коэффициент подобия:

$AC = k \cdot A_1C_1 = \frac{3}{2} \cdot 8 \text{ см} = 3 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.