Номер 297, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

297. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 278) $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 6$ см, $AC = 8$ см. Из середины гипотенузы $BC$ восстановлен перпендикуляр $MK$. Найдите длину отрезка $MK$.

Рис. 278

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. Известны длины катетов: $AB = 6$ см и $AC = 8$ см. Точка $M$ — середина гипотенузы $BC$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на катет $AC$ (согласно рисунку, $\angle MKA = 90^\circ$). Требуется найти длину отрезка $MK$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства средней линии треугольника

1. В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, следовательно, катет $AB$ перпендикулярен катету $AC$, то есть $AB \perp AC$.

2. По условию, из точки $M$ к стороне $AC$ проведен перпендикуляр $MK$, что означает $MK \perp AC$.

3. В евклидовой геометрии две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Так как $AB \perp AC$ и $MK \perp AC$, то $MK \parallel AB$.

4. Рассмотрим отрезок $MK$. Он выходит из середины стороны $BC$ (точка $M$) и параллелен стороне $AB$. Отрезок, соединяющий середину одной стороны треугольника с точкой на другой стороне и параллельный третьей стороне, является средней линией треугольника.

5. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:

$MK = \frac{1}{2} AB$

6. Подставляя известное значение $AB = 6$ см, получаем:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Способ 2: Использование подобия треугольников

1. Рассмотрим треугольники $\triangle MKC$ и $\triangle ABC$.

2. Угол $C$ является общим для обоих треугольников.

3. Угол $\angle MKC = 90^\circ$ (так как $MK \perp AC$) и угол $\angle BAC = 90^\circ$ (по условию). Так как оба угла прямые, они равны.

4. Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники $\triangle MKC$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

5. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{MK}{AB} = \frac{MC}{BC} = \frac{KC}{AC}$

6. Найдем длину гипотенузы $BC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

7. Точка $M$ — середина гипотенузы $BC$, значит:

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

8. Теперь используем пропорцию из пункта 5 для нахождения $MK$:

$\frac{MK}{AB} = \frac{MC}{BC}$

Подставляем известные значения:

$\frac{MK}{6} = \frac{5}{10}$

$\frac{MK}{6} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим $MK$:

$MK = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3 см.