Номер 302, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

302. Докажите, что у подобных треугольников:

а) соответствующие высоты;

б) соответствующие биссектрисы;

в) соответствующие медианы

относятся как соответствующие стороны этих треугольников.

Пусть даны два подобных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По определению подобия, их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $k$.

$ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k $

Необходимо доказать, что их соответствующие высоты, биссектрисы и медианы относятся так же, как их соответствующие стороны, то есть с коэффициентом $k$.

а) соответствующие высоты

Проведем в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответствующие высоты $ BH $ и $ B_1H_1 $ из вершин $B$ и $B_1$ к сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $ соответственно.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $. Поскольку $ BH $ и $ B_1H_1 $ являются высотами, треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ — прямоугольные, то есть $ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Из подобия исходных треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что $ \angle A = \angle A_1 $.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из их подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB} $

Поскольку по условию $ \frac{A_1B_1}{AB} = k $, то и отношение высот $ \frac{B_1H_1}{BH} = k $.

Ответ: Отношение соответствующих высот равно отношению соответствующих сторон, что и требовалось доказать.

б) соответствующие биссектрисы

Проведем в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответствующие биссектрисы $ BL $ и $ B_1L_1 $ из вершин $ B $ и $ B_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABL $ и $ \triangle A_1B_1L_1 $. Из подобия исходных треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $ мы знаем, что $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $.

Так как $ BL $ и $ B_1L_1 $ — биссектрисы соответствующих углов, они делят эти углы пополам. Следовательно, $ \angle ABL = \frac{1}{2}\angle B $ и $ \angle A_1B_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $. Поскольку $ \angle B = \angle B_1 $, то и $ \angle ABL = \angle A_1B_1L_1 $.

Таким образом, треугольники $ \triangle ABL $ и $ \triangle A_1B_1L_1 $ имеют две пары равных углов ($ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle ABL = \angle A_1B_1L_1 $), а значит, они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия $ \triangle ABL \sim \triangle A_1B_1L_1 $ следует пропорциональность их сторон:

$ \frac{B_1L_1}{BL} = \frac{A_1B_1}{AB} $

Так как $ \frac{A_1B_1}{AB} = k $, то и отношение биссектрис $ \frac{B_1L_1}{BL} = k $.

Ответ: Отношение соответствующих биссектрис равно отношению соответствующих сторон, что и требовалось доказать.

в) соответствующие медианы

Проведем в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответствующие медианы $ BM $ и $ B_1M_1 $ к сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Из подобия исходных треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $ известно, что $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = k $.

По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $, а $ M_1 $ — серединой $ A_1C_1 $. Отсюда следует, что $ AM = \frac{1}{2}AC $ и $ A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1 $.

Найдем отношение сторон $ A_1M_1 $ и $ AM $:

$ \frac{A_1M_1}{AM} = \frac{\frac{1}{2}A_1C_1}{\frac{1}{2}AC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k $

Теперь в треугольниках $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ мы имеем: угол $ \angle A $ равен углу $ \angle A_1 $, а прилежащие к нему стороны пропорциональны с коэффициентом $k$: $ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1M_1}{AM} = k $. Следовательно, треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия $ \triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1 $ следует, что отношение их третьих сторон (медиан) также равно коэффициенту подобия:

$ \frac{B_1M_1}{BM} = k $

Ответ: Отношение соответствующих медиан равно отношению соответствующих сторон, что и требовалось доказать.