Номер 306, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

306. На рисунке 282 $AM$ и $CK$ — высоты треугольника $ABC$, $CM = 9$ см, $BM = 3$ см, $BK = 4$ см. Найдите длину отрезка $AK$.

Puc. 282

По условию задачи, отрезки $AM$ и $CK$ являются высотами треугольника $ABC$. Это означает, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены:

• $AM \perp BC$, следовательно, треугольник $AMB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AMB = 90^\circ$.
• $CK \perp AB$, следовательно, треугольник $CKB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle CKB = 90^\circ$.

Рассмотрим два этих прямоугольных треугольника: $\Delta AMB$ и $\Delta CKB$.

У этих треугольников есть общий угол $\angle B$. Поскольку оба треугольника являются прямоугольными и имеют общий острый угол, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников $\Delta CKB \sim \Delta AMB$ следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{CB}{AB} = \frac{BK}{BM}$

Найдем длины сторон $CB$ и $AB$, используя данные задачи:

• Сторона $CB$ состоит из отрезков $CM$ и $BM$: $CB = CM + BM = 9 + 3 = 12$ см.
• Сторона $AB$ состоит из отрезков $AK$ и $BK$: $AB = AK + BK = AK + 4$ см.

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{12}{AK + 4} = \frac{4}{3}$

Решим это уравнение, чтобы найти длину $AK$. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$12 \cdot 3 = 4 \cdot (AK + 4)$

$36 = 4 \cdot AK + 16$

$4 \cdot AK = 36 - 16$

$4 \cdot AK = 20$

$AK = \frac{20}{4}$

$AK = 5$ см.

Ответ: 5 см.