Номер 312, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

312. Периметр трапеции $AMNC$ равен 22 см (рис. 286), периметр треугольника $ABC$ равен 24 см, периметр треугольника $MBN$ равен 8 см. Найдите:

а) $MN$;

б) $AC$.

Рис. 286

Обозначим периметры: $P_{AMNC}$ — периметр трапеции AMNC, $P_{ABC}$ — периметр треугольника ABC, $P_{MBN}$ — периметр треугольника MBN.

По условию задачи:

$P_{AMNC} = 22$ см

$P_{ABC} = 24$ см

$P_{MBN} = 8$ см

Запишем формулы для периметров через стороны фигур:

$P_{AMNC} = AM + MN + NC + AC$

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{MBN} = MB + BN + MN$

Так как точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно, то $AB = AM + MB$ и $BC = BN + NC$.

а) MN

Рассмотрим разность периметров треугольника ABC и трапеции AMNC:

$P_{ABC} - P_{AMNC} = (AB + BC + AC) - (AM + MN + NC + AC)$

Подставим выражения для сторон $AB$ и $BC$:

$P_{ABC} - P_{AMNC} = ((AM + MB) + (BN + NC) + AC) - (AM + MN + NC + AC)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$P_{ABC} - P_{AMNC} = AM + MB + BN + NC + AC - AM - MN - NC - AC = MB + BN - MN$

Подставим числовые значения периметров:

$24 - 22 = MB + BN - MN$

$2 = MB + BN - MN$

Теперь воспользуемся формулой для периметра треугольника MBN: $P_{MBN} = MB + BN + MN = 8$.

Из этой формулы выразим сумму сторон $MB + BN$:

$MB + BN = 8 - MN$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:

$2 = (8 - MN) - MN$

$2 = 8 - 2 \cdot MN$

$2 \cdot MN = 8 - 2$

$2 \cdot MN = 6$

$MN = \frac{6}{2} = 3$ (см)

Ответ: 3 см.

б) AC

По условию, четырёхугольник AMNC является трапецией. Это означает, что его основания параллельны, то есть $MN \parallel AC$.

Так как прямая MN параллельна стороне AC и пересекает стороны AB и BC треугольника ABC, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник MBN подобен треугольнику ABC ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Также этому коэффициенту равно отношение соответственных сторон.

Найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{P_{MBN}}{P_{ABC}} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Стороны MN и AC являются соответственными в подобных треугольниках MBN и ABC. Следовательно, их отношение равно коэффициенту подобия:

$\frac{MN}{AC} = k$

Подставим известные значения $MN$ (из пункта а) и $k$:

$\frac{3}{AC} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим AC:

$AC = 3 \cdot 3 = 9$ (см)

Ответ: 9 см.