Номер 316, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

316. Дан прямоугольник $ABCD$ с площадью $210 \text{ см}^2$. На стороне $AD$ взята точка $K$, на стороне $CD$ — точка $M$ так, что $AK : KD = 2 : 1$, $CM : MD = 2 : 3$. Отрезки $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $APK$.

Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $AD = b$ и $AB = a$. Площадь прямоугольника равна $S_{ABCD} = a \cdot b = 210 \text{ см}^2$.

Исходя из условий задачи, выразим длины отрезков через $a$ и $b$:

• Точка $K$ находится на стороне $AD$ так, что $AK : KD = 2 : 1$. Следовательно, вся сторона $AD$ делится на $2+1=3$ части, и $AK$ составляет две из них. $AK = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}b$.
• Точка $M$ находится на стороне $CD$ так, что $CM : MD = 2 : 3$. Сторона $CD$ делится на $2+3=5$ частей. Так как $ABCD$ - прямоугольник, $CD=AB=a$. Длина отрезка $MD$ составляет три части из пяти. $MD = \frac{3}{5}CD = \frac{3}{5}a$.

Для нахождения площади треугольника $APK$ воспользуемся методом подобия. Для этого выполним дополнительное построение: продлим отрезок $AM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $Q$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle QCM$.

• Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$, а значит $AD \parallel QC$.
• Углы $\angle DAM$ и $\angle CQM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $QC$ и секущей $AQ$.
• Углы $\angle AMD$ и $\angle QMC$ равны как вертикальные.

Следовательно, треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle QCM$ подобны по двум углам. Из подобия следует отношение сторон:$\frac{QC}{AD} = \frac{CM}{MD}$Из условия известно, что $\frac{CM}{MD} = \frac{2}{3}$, поэтому:$\frac{QC}{b} = \frac{2}{3} \implies QC = \frac{2}{3}b$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle QPB$.

• Отрезки $AK$ и $QB$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, поэтому $AK \parallel QB$.
• Углы $\angle PAK$ и $\angle PQB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AK$ и $QB$ и секущей $AQ$.
• Углы $\angle PKA$ и $\angle PBQ$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AK$ и $QB$ и секущей $BK$.

Следовательно, треугольники $\triangle APK$ и $\triangle QPB$ подобны по двум углам. Найдем их коэффициент подобия $k$:$k = \frac{AK}{QB}$. Длина отрезка $QB$ равна сумме длин отрезков $BC$ и $CQ$:$QB = BC + CQ = b + \frac{2}{3}b = \frac{5}{3}b$. Теперь найдем коэффициент подобия:$k = \frac{AK}{QB} = \frac{\frac{2}{3}b}{\frac{5}{3}b} = \frac{2}{5}$.

Высоты подобных треугольников, проведенные из соответствующей вершины, относятся так же, как и стороны. Пусть $h_1$ — высота $\triangle APK$, проведенная из вершины $P$ к основанию $AK$, а $h_2$ — высота $\triangle QPB$, проведенная из вершины $P$ к основанию $QB$. Их отношение равно $k$:$\frac{h_1}{h_2} = \frac{2}{5}$. Сумма этих высот равна расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, то есть длине стороны $AB = a$:$h_1 + h_2 = a$.

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $h_2 = \frac{5}{2}h_1$ и подставим во второе:$h_1 + \frac{5}{2}h_1 = a$$\frac{7}{2}h_1 = a$$h_1 = \frac{2}{7}a$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $APK$, зная его основание $AK = \frac{2}{3}b$ и высоту $h_1 = \frac{2}{7}a$:$S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}b\right) \cdot \left(\frac{2}{7}a\right) = \frac{2}{21}ab$.

Так как площадь прямоугольника $ab = 210 \text{ см}^2$, то:$S_{APK} = \frac{2}{21} \cdot 210 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}^2$.

Ответ: $20 \text{ см}^2$.