Номер 318, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

318. На рисунках 291, а)—в) в каждом треугольнике проведена биссектриса. Найдите длину отрезка $x$ (все размеры даны в сантиметрах).

а) $8/10 = x/5$

б) $x/4 = 15/6$

в) $30/24 = 40/x$

Рис. 291

Для решения данных задач применяется свойство биссектрисы треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

а)
В данном треугольнике стороны, прилежащие к углу, из которого проведена биссектриса, равны 8 и 10. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки длиной $x$ и 5. Согласно свойству биссектрисы, составим пропорцию:
$ \frac{8}{10} = \frac{x}{5} $
Для нахождения $x$ воспользуемся основным свойством пропорции («произведение крайних членов равно произведению средних»):
$ 10 \cdot x = 8 \cdot 5 $
$ 10x = 40 $
$ x = \frac{40}{10} $
$ x = 4 $
Ответ: 4.

б)
В этом треугольнике прилежащие к углу с биссектрисой стороны равны $x$ и 15. Противолежащая сторона разделена биссектрисой на отрезки длиной 4 и 6.
Составим пропорцию на основе свойства биссектрисы:
$ \frac{x}{15} = \frac{4}{6} $
Решим уравнение относительно $x$:
$ 6 \cdot x = 15 \cdot 4 $
$ 6x = 60 $
$ x = \frac{60}{6} $
$ x = 10 $
Ответ: 10.

в)
Здесь стороны, прилежащие к углу, из которого выходит биссектриса, имеют длины 30 и 40. Биссектриса делит противолежащую им сторону на отрезки 24 и $x$.
Запишем пропорцию согласно свойству биссектрисы:
$ \frac{30}{40} = \frac{24}{x} $
Упростим дробь в левой части: $ \frac{30}{40} = \frac{3}{4} $. Получим:
$ \frac{3}{4} = \frac{24}{x} $
Теперь найдем $x$ из пропорции:
$ 3 \cdot x = 4 \cdot 24 $
$ 3x = 96 $
$ x = \frac{96}{3} $
$ x = 32 $
Ответ: 32.