Номер 325, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

325. Биссектриса внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AK : CK = AB : BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $BK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Это означает, что если продлить сторону $AB$ за точку $B$ до некоторой точки $M$, то луч $BK$ делит угол $\angle MBC$ пополам. Прямая $BK$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Нам нужно доказать, что $AK : CK = AB : BC$.

Доказательство.

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$. Пусть эта прямая пересекает биссектрису $BK$ в точке $G$. Таким образом, по построению $CG \parallel AB$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CG$.

1. Продлим сторону $AB$ за точку $B$ до точки $M$. Угол $\angle MBC$ — внешний угол треугольника при вершине $B$. Так как $BK$ — его биссектриса, то $\angle MBK = \angle CBK$.

2. Прямые $AM$ (содержащая $AB$) и $CG$ параллельны, а $BK$ — их секущая. Углы $\angle MBK$ и $\angle CGB$ являются накрест лежащими, следовательно, $\angle MBK = \angle CGB$.

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle CBK = \angle CGB$. Это означает, что треугольник $BCG$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BG$ равны. Отсюда следует равенство сторон: $BC = CG$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle KCG$.

• Угол при вершине $K$ является общим для обоих треугольников (или вертикальным, в зависимости от расположения точки $K$ относительно отрезка $AC$). В любом случае, $\angle AKB = \angle CKG$.
• Так как $CG \parallel AB$, то углы $\angle KCG$ и $\angle KAB$ являются соответственными при секущей $AC$. Следовательно, $\angle KCG = \angle KAB$.

По двум равным углам заключаем, что треугольники подобны: $\triangle KAB \sim \triangle KCG$.

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{KA}{KC} = \frac{AB}{CG} = \frac{KB}{KG} $$

6. Возьмем первую часть этой пропорции $ \frac{KA}{KC} = \frac{AB}{CG} $ и подставим в нее равенство $CG = BC$, доказанное в пункте 3. Получаем: $$ \frac{KA}{KC} = \frac{AB}{BC} $$ Это можно записать в виде $AK : CK = AB : BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $AK : CK = AB : BC$ доказано.