Номер 326, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

326. Как изменится площадь треугольника, если все его стороны:

а) увеличить в 2 раза;

б) увеличить в 3 раза;

в) увеличить в 2,5 раза;

г) уменьшить в 10 раз?

Для решения этой задачи можно использовать свойство подобных фигур. Если все стороны треугольника изменяются в $k$ раз, то новый треугольник будет подобен исходному с коэффициентом подобия, равным $k$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Докажем это с помощью формулы Герона. Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b, c$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Если все стороны треугольника изменить в $k$ раз, то новые стороны будут $a' = ka$, $b' = kb$, $c' = kc$.

Новый полупериметр $p'$ будет равен:

$p' = \frac{ka+kb+kc}{2} = k \frac{a+b+c}{2} = kp$

Тогда новая площадь $S'$ будет равна:

$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')} = \sqrt{kp(kp-ka)(kp-kb)(kp-kc)}$

$S' = \sqrt{k \cdot p \cdot k(p-a) \cdot k(p-b) \cdot k(p-c)} = \sqrt{k^4 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S' = k^2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = k^2 S$

Таким образом, если стороны треугольника изменяются в $k$ раз, его площадь изменяется в $k^2$ раз. Применим это правило для каждого случая.

а) увеличить в 2 раза

Коэффициент изменения сторон $k = 2$.

Площадь изменится в $k^2 = 2^2 = 4$ раза.

Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

б) увеличить в 3 раза

Коэффициент изменения сторон $k = 3$.

Площадь изменится в $k^2 = 3^2 = 9$ раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

в) увеличить в 2,5 раза

Коэффициент изменения сторон $k = 2,5$.

Площадь изменится в $k^2 = (2,5)^2 = 6,25$ раза.

Ответ: площадь увеличится в 6,25 раза.

г) уменьшить в 10 раз

Уменьшение сторон в 10 раз означает, что коэффициент изменения $k = \frac{1}{10}$.

Площадь изменится в $k^2 = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$ раз, то есть уменьшится в 100 раз.

Ответ: площадь уменьшится в 100 раз.