Номер 330, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

330. На рисунке 297 $\angle A = \angle E$, $BC = 4$ см, $CD = 8$ см, $S_{ABC} = 10 \text{ см}^2$. Найдите $S_{EDC}$.

Рис. 297

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $.

1. Угол $ \angle A $ равен углу $ \angle E $ ($ \angle A = \angle E $) согласно условию задачи.

2. Угол $ \angle BCA $ равен углу $ \angle DCE $ ($ \angle BCA = \angle DCE $), так как они являются вертикальными углами.

Поскольку два угла одного треугольника ($ \triangle ABC $) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ \triangle EDC $), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, $ \triangle ABC \sim \triangle EDC $.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k$).

$$ \frac{S_{EDC}}{S_{ABC}} = k^2 $$

Коэффициент подобия $ k $ равен отношению длин соответственных сторон. Стороны $ CD $ и $ BC $ являются соответственными, так как они лежат напротив равных углов $ \angle E $ и $ \angle A $.

Найдем коэффициент подобия:

$$ k = \frac{CD}{BC} = \frac{8 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 2 $$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ S_{EDC} $. Подставим известные значения в формулу для отношения площадей:

$$ \frac{S_{EDC}}{S_{ABC}} = k^2 = 2^2 = 4 $$

Из этого соотношения выразим и вычислим $ S_{EDC} $, зная, что $ S_{ABC} = 10 \text{ см}^2 $:

$$ S_{EDC} = 4 \cdot S_{ABC} = 4 \cdot 10 \text{ см}^2 = 40 \text{ см}^2 $$

Ответ: $40 \text{ см}^2$.