Номер 334, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

334. На рисунке 301 $AMKE$ — параллелограмм, $S_{MBK} = S_1 = 16 \text{ см}^2$, $S_{EKC} = S_2 = 9 \text{ см}^2$.

а) Найдите площадь параллелограмма $AMKE$.

б) Выразите площадь параллелограмма $S_{AMKE}$ через $S_1$ и $S_2$.

в) Выразите площадь треугольника $ABC$ через $S_1$ и $S_2$.

Рис. 301

Для решения задачи установим ключевые соотношения между площадями, используя свойства параллелограмма и подобных треугольников.

Поскольку AMKE — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, $MK \parallel AE$. Так как точка E лежит на стороне AC, то $MK \parallel AC$. Прямая MK, параллельная стороне AC, отсекает от треугольника ABC подобный ему треугольник MBK. Таким образом, $\triangle MBK \sim \triangle ABC$.

Аналогично, из того, что AMKE — параллелограмм, следует $EK \parallel AM$. Так как точка M лежит на стороне AB, то $EK \parallel AB$. Прямая EK, параллельная стороне AB, отсекает от треугольника ABC подобный ему треугольник EKC. Таким образом, $\triangle EKC \sim \triangle ABC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия их соответствующих сторон. Обозначим площадь треугольника ABC как $S_{ABC}$.

Из подобия $\triangle MBK \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \frac{S_1}{S_{ABC}} = \left(\frac{MB}{AB}\right)^2$, откуда $\frac{MB}{AB} = \sqrt{\frac{S_1}{S_{ABC}}}$.

Из подобия $\triangle EKC \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}} = \frac{S_2}{S_{ABC}} = \left(\frac{EK}{AB}\right)^2$.

Так как AMKE — параллелограмм, то его противоположные стороны равны, то есть $AM = EK$. Используя это свойство, получаем: $\frac{S_2}{S_{ABC}} = \left(\frac{AM}{AB}\right)^2$, откуда $\frac{AM}{AB} = \sqrt{\frac{S_2}{S_{ABC}}}$.

Точка M лежит на стороне AB, поэтому $AB = AM + MB$. Разделим обе части равенства на AB: $1 = \frac{AM}{AB} + \frac{MB}{AB}$. Подставим полученные ранее выражения для отношений сторон: $1 = \sqrt{\frac{S_2}{S_{ABC}}} + \sqrt{\frac{S_1}{S_{ABC}}} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{ABC}}}$.

Из этого соотношения выразим $\sqrt{S_{ABC}}$: $\sqrt{S_{ABC}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$. Возведя обе части в квадрат, получим формулу для площади треугольника ABC: $S_{ABC} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.

Площадь всего треугольника ABC складывается из площадей его частей: $S_{ABC} = S_{AMKE} + S_{MBK} + S_{EKC}$. Отсюда выразим площадь параллелограмма: $S_{AMKE} = S_{ABC} - S_1 - S_2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 - S_1 - S_2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $S_{AMKE} = (S_1 + 2\sqrt{S_1S_2} + S_2) - S_1 - S_2 = 2\sqrt{S_1S_2}$.

Теперь, имея все необходимые формулы, ответим на вопросы задачи.

а) Найдите площадь параллелограмма AMKE.

Воспользуемся выведенной формулой $S_{AMKE} = 2\sqrt{S_1S_2}$ и подставим данные из условия значения $S_1 = 16 \text{ см}^2$ и $S_2 = 9 \text{ см}^2$.

$S_{AMKE} = 2\sqrt{16 \cdot 9} = 2\sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.

б) Выразите площадь параллелограмма $S_{AMKE}$ через $S_1$ и $S_2$.

В ходе общего решения была получена формула для площади параллелограмма через площади треугольников $S_1$ и $S_2$:

$S_{AMKE} = 2\sqrt{S_1S_2}$.

Ответ: $S_{AMKE} = 2\sqrt{S_1S_2}$.

в) Выразите площадь треугольника ABC через $S_1$ и $S_2$.

В ходе общего решения была получена формула для площади треугольника ABC через площади треугольников $S_1$ и $S_2$:

$S_{ABC} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.

Ответ: $S_{ABC} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.