Номер 340, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

340. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе проведена высота $BH$. Известно, что $S_{ABH} = 4 \text{ см}^2$, $S_{CBH} = 16 \text{ см}^2$. Найдите гипотенузу $AC$.

Дано:

$\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник ($\angle B = 90^\circ$).
$BH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла B к гипотенузе $AC$.
$S_{ABH} = 4 \text{ см}^2$ — площадь треугольника $ABH$.
$S_{CBH} = 16 \text{ см}^2$ — площадь треугольника $CBH$.

Найти:

Длину гипотенузы $AC$.

Решение:

Высота $BH$, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $ABH$ и $CBH$. Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABC} = S_{ABH} + S_{CBH} = 4 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $CBH$. У них общая высота $BH$, а их основаниями являются отрезки $AH$ и $CH$ гипотенузы $AC$.

Для $\triangle ABH$: $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH$.
$4 = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH \implies AH \cdot BH = 8$.

Для $\triangle CBH$: $S_{CBH} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH$.
$16 = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH \implies CH \cdot BH = 32$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. То есть:

$BH^2 = AH \cdot CH$.

Выразим $AH$ и $CH$ из уравнений для площадей:

$AH = \frac{8}{BH}$
$CH = \frac{32}{BH}$

Подставим эти выражения в формулу для высоты:

$BH^2 = \left(\frac{8}{BH}\right) \cdot \left(\frac{32}{BH}\right)$
$BH^2 = \frac{256}{BH^2}$
$BH^4 = 256$
$BH = \sqrt[4]{256} = 4$ см.

Теперь, зная высоту $BH$, мы можем найти длину гипотенузы $AC$. Площадь треугольника $ABC$ также можно выразить через гипотенузу $AC$ и высоту $BH$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Мы уже нашли, что $S_{ABC} = 20 \text{ см}^2$ и $BH = 4$ см. Подставим эти значения в формулу:

$20 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 4$
$20 = 2 \cdot AC$
$AC = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.