Номер 341, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

341. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 4 \text{ см}$ и $AD = 8 \text{ см}$ и высотой, равной $3 \text{ см}$. Боковые стороны трапеции продлили до пересечения в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ВКС$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до их пересечения в точке $K$. В результате образуются два треугольника: $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$ подобны. Это следует из равенства углов: $\angle K$ является общим для обоих треугольников, а $\angle KBC = \angle KAD$ (и $\angle KCB = \angle KDA$) как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AK$ и $DK$ соответственно.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{4 \text{ см}}{8 \text{ см}} = \frac{1}{2}$.

Отношение высот подобных треугольников также равно коэффициенту подобия. Обозначим высоту треугольника $\triangle BKC$, опущенную из вершины $K$ на основание $BC$, как $h_{BKC}$, а высоту треугольника $\triangle AKD$, опущенную из вершины $K$ на основание $AD$, как $h_{AKD}$. Тогда: $\frac{h_{BKC}}{h_{AKD}} = k = \frac{1}{2}$.

Высота трапеции $h$ представляет собой расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Геометрически, она равна разности высот двух треугольников: $h = h_{AKD} - h_{BKC}$. По условию задачи, $h = 3$ см.

Получаем систему уравнений:
$h_{AKD} = 2 \cdot h_{BKC}$
$h_{AKD} - h_{BKC} = 3$
Подставим выражение для $h_{AKD}$ из первого уравнения во второе:
$2 \cdot h_{BKC} - h_{BKC} = 3$
$h_{BKC} = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $\triangle BKC$, зная его основание $BC = 4$ см и высоту $h_{BKC} = 3$ см.
Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: $6$ см².