Номер 336, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

336. На рисунке 303 треугольник ABC — равносторонний, $MB = 2AM$, $NC = 2BN$, $AK = 2KC$. Если площадь треугольника ABC равна $72\text{ см}^2$, то чему равна площадь треугольника MNK?

Рис. 303

Для нахождения площади треугольника $MNK$ воспользуемся методом вычитания. Площадь треугольника $MNK$ равна площади треугольника $ABC$ за вычетом площадей трех угловых треугольников: $AMK$, $MBN$ и $KNC$.

$S_{MNK} = S_{ABC} - S_{AMK} - S_{MBN} - S_{KNC}$

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = AC = a$. Используя условия задачи, найдем длины отрезков, на которые точки $M$, $N$, $K$ делят стороны треугольника $ABC$:

• Из условия $MB = 2AM$ следует, что $AB = AM + MB = AM + 2AM = 3AM$. Отсюда $AM = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$ и $MB = \frac{2}{3}AB = \frac{2a}{3}$.
• Из условия $NC = 2BN$ следует, что $BC = BN + NC = BN + 2BN = 3BN$. Отсюда $BN = \frac{1}{3}BC = \frac{a}{3}$ и $NC = \frac{2}{3}BC = \frac{2a}{3}$.
• Из условия $AK = 2KC$ следует, что $AC = AK + KC = 2KC + KC = 3KC$. Отсюда $KC = \frac{1}{3}AC = \frac{a}{3}$ и $AK = \frac{2}{3}AC = \frac{2a}{3}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\alpha$, где $x$ и $y$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^{\circ}$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ выражается как $S_{ABC} = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2}a^2 \sin 60^{\circ}$.

Теперь найдем площади угловых треугольников:

• $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{2}{9} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \sin 60^{\circ}\right) = \frac{2}{9} S_{ABC}$
• $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BN \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{2}{9} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \sin 60^{\circ}\right) = \frac{2}{9} S_{ABC}$
• $S_{KNC} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot NC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{2}{9} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \sin 60^{\circ}\right) = \frac{2}{9} S_{ABC}$

Как мы видим, площади всех трех угловых треугольников равны. Сумма их площадей составляет: $S_{AMK} + S_{MBN} + S_{KNC} = 3 \cdot \frac{2}{9} S_{ABC} = \frac{6}{9} S_{ABC} = \frac{2}{3} S_{ABC}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $MNK$: $S_{MNK} = S_{ABC} - \frac{2}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}$.

По условию задачи площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см². Подставим это значение в нашу формулу: $S_{MNK} = \frac{1}{3} \cdot 72 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: 24 см².