Номер 338, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

338. АК и СН — высоты треугольника $ABC$ (рис. 305), $BK : AB = 2 : 5$, $S_{ABC} = 50 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $HBK$.

Рис. 305

Решение:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $HBK$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($ \angle HBK = \angle ABC $).

2. Так как $CH$ — высота треугольника $ABC$, то $CH \perp AB$. Следовательно, треугольник $CHB$ является прямоугольным ($ \angle CHB = 90^\circ $). В этом треугольнике косинус угла $B$ определяется как отношение прилежащего катета $BH$ к гипотенузе $BC$:
$ \cos(\angle B) = \frac{BH}{BC} $

3. Аналогично, так как $AK$ — высота, то $AK \perp BC$, и треугольник $AKB$ является прямоугольным ($ \angle AKB = 90^\circ $). В этом треугольнике косинус угла $B$ определяется как отношение прилежащего катета $BK$ к гипотенузе $AB$:
$ \cos(\angle B) = \frac{BK}{AB} $

4. Приравнивая два полученных выражения для $ \cos(\angle B) $, получаем равенство:
$ \frac{BH}{BC} = \frac{BK}{AB} $

5. Таким образом, у треугольников $HBK$ и $ABC$ есть общий угол $B$, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), можно сделать вывод, что $ \triangle HBK \sim \triangle ABC $.

6. Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон. Из условия задачи нам дано, что $BK : AB = 2 : 5$, поэтому:
$ k = \frac{BK}{AB} = \frac{2}{5} $

7. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:
$ \frac{S_{HBK}}{S_{ABC}} = k^2 $

8. Подставляя известные значения, находим площадь треугольника $HBK$:
$ S_{HBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 50 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 50 \cdot \frac{4}{25} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2 $.

Ответ: 8 см².