Геометрия 3D, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Как уже говорилось, любые два круга являются подобными (рис. 307, а). Подобия в первом случае может быть определен как отношение радиусов кругов, а во втором — как отношение сторон квадратов, то есть $k = \frac{R_1}{R_2}$ или $k = \frac{a_1}{a_2}$.

Рис. 307

Два многоугольника называются подобными, если у них углы соответственно равны, а соответствующие стороны пропорциональны (рис. 308, а). Фигуры $F$ и $F_1$ называются подобными, если между их точками можно установить такое соответствие, что для любых пар точек $M$ и $N$ и соответствующих им точек $M_1$ и $N_1$ (рис. 308, б) выполняется условие $\frac{MN}{M_1N_1} = k$. Число $k$ — коэффициент подобия. Можно доказать, что отношение периметров подобных фигур равно $k$, а отношение их площадей — $k^2$.

Рис. 308

Подобие также определяется и для пространственных фигур. Так, подобными являются любые два шара или любые два куба (рис. 309).

Рис. 309

Увеличив длину всех ребер любого многогранника в одно и то же число раз и сохранив величины всех углов, получим многогранник, подобный данному (рис. 310).

Рис. 310

Мы знаем, что прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. Аналогично в пространстве плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее пирамиду, подобную данной (рис. 311, а, б). То есть отсеченная пирамида будет иметь такую же форму, но отличаться размерами. Если отбросить отсеченную пирамиду, то получится усеченная пирамида (рис. 311, в).

Рис. 311

Усеченная пирамида имеет два основания: верхнее и нижнее, которые являются подобными многоугольниками. Ее боковые грани являются трапециями. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, и все ее боковые ребра равны. Если от нее отсечь плоскостью, параллельной основанию, пирамиду, то получится правильная усеченная пирамида. Основания ее — квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Задача. Найдите площадь полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 312), у которой стороны оснований равны 20 см и 10 см, а боковое ребро равно 13 см.

Рис. 312

Задача.

Для нахождения площади полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды необходимо сложить площади двух ее оснований (верхнего и нижнего) и площадь ее боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности ($S_{полн}$) выглядит так:

$S_{полн} = S_{нижн. осн.} + S_{верхн. осн.} + S_{бок}$

где $S_{нижн. осн.}$ — площадь нижнего основания, $S_{верхн. осн.}$ — площадь верхнего основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Находим площади оснований.

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основания — это квадраты.

Сторона нижнего основания $a_1 = 20$ см. Его площадь:

$S_{нижн. осн.} = a_1^2 = 20^2 = 400$ см².

Сторона верхнего основания $a_2 = 10$ см. Его площадь:

$S_{верхн. осн.} = a_2^2 = 10^2 = 100$ см².

2. Находим площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций. Для нахождения площади одной трапеции ($S_{трап}$) нужна ее высота, которая также является апофемой усеченной пирамиды.

Рассмотрим боковую грань-трапецию. Ее основания равны 20 см и 10 см, а боковые стороны (боковые ребра пирамиды) равны 13 см. Чтобы найти высоту трапеции $h$, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Мы получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — боковое ребро (13 см), а один из катетов — полуразность оснований трапеции.

Вычислим длину этого катета:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h$:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь одной трапеции:

$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h = \frac{20 + 10}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех таких трапеций:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 180 = 720$ см².

3. Находим площадь полной поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн. осн.} + S_{верхн. осн.} + S_{бок} = 400 + 100 + 720 = 1220$ см².

Ответ: $1220$ см².