Номер 346, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

346. На рисунке 318 $BP = 4$, $BC = 10$, $PF = 6$. Найдите $AC$.

Рис. 318

Из условия задачи и рисунка следует, что отрезки CP и AF являются высотами треугольника ABC, проведенными из вершин C и A соответственно. Это означает, что $CP \perp AB$ и $AF \perp BC$. Следовательно, $\triangle BPC$ и $\triangle BFA$ являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий острый угол $\angle B$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BPC$ косинус угла B равен отношению прилежащего катета BP к гипотенузе BC:
$\cos(\angle B) = \frac{BP}{BC}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BFA$ косинус угла B равен отношению прилежащего катета BF к гипотенузе BA:
$\cos(\angle B) = \frac{BF}{BA}$

Так как левые части этих равенств одинаковы, то равны и правые:
$\frac{BP}{BC} = \frac{BF}{BA}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BPF$ и $\triangle BCA$.
1. Угол $\angle B$ у них общий.
2. Из доказанного выше равенства $\frac{BP}{BC} = \frac{BF}{BA}$ следует, что стороны, прилежащие к общему углу, пропорциональны.
Таким образом, $\triangle BPF \sim \triangle BCA$ (по второму признаку подобия треугольников: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон. Сторона PF в $\triangle BPF$ лежит напротив угла $\angle PB F$, а сторона AC в $\triangle BCA$ лежит напротив угла $\angle ABC$. Так как это один и тот же угол, стороны PF и AC являются соответственными.
$\frac{PF}{AC} = \frac{BP}{BC} = \frac{BF}{BA}$

Для нахождения AC используем часть пропорции с известными нам величинами:
$\frac{PF}{AC} = \frac{BP}{BC}$

Подставим данные из условия задачи: $BP = 4$, $BC = 10$, $PF = 6$.
$\frac{6}{AC} = \frac{4}{10}$

Выразим AC из этого уравнения:
$AC = \frac{6 \cdot 10}{4} = \frac{60}{4} = 15$

Ответ: 15.