Номер 350, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

350. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ высоты $BE$ и $AK$ пересекаются в точке $M$, $BM = 4$, $ME = 2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) высота $BE$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой и биссектрисой.
Найдем полную длину высоты $BE$ из данных отрезков:
$BE = BM + ME = 4 + 2 = 6$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Так как $BE$ — медиана, то $E$ — середина $AC$, и $AC = 2 \cdot AE$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AE) \cdot BE = AE \cdot BE$.
Подставив известное значение $BE=6$, получаем:
$S_{ABC} = 6 \cdot AE$.
Чтобы найти площадь, нам необходимо найти длину отрезка $AE$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AKC$ (поскольку $AK$ — высота, то $\angle AKC = 90^\circ$) и $\triangle BEC$ (поскольку $BE$ — высота, то $\angle BEC = 90^\circ$). У них общий угол $\angle C$.
Из прямоугольного треугольника $AKC$ выразим угол $\angle KAC$:
$\angle KAC = 90^\circ - \angle C$.
Из прямоугольного треугольника $BEC$ выразим угол $\angle CBE$:
$\angle CBE = 90^\circ - \angle C$.
Следовательно, $\angle KAC = \angle CBE$.

Поскольку $BE$ является биссектрисой угла $\angle B$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, то $\angle ABE = \angle CBE$.
Из двух последних равенств следует, что $\angle KAC = \angle ABE$.

Теперь воспользуемся этим равенством углов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AME$ ($\angle AEM = 90^\circ$). Угол $\angle MAE$ в этом треугольнике — это тот же угол, что и $\angle KAC$. Выразим его тангенс:
$\tan(\angle MAE) = \frac{ME}{AE} = \frac{2}{AE}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ ($\angle AEB = 90^\circ$). Выразим тангенс угла $\angle ABE$:
$\tan(\angle ABE) = \frac{AE}{BE} = \frac{AE}{6}$.

Поскольку мы установили, что $\angle MAE = \angle ABE$, их тангенсы должны быть равны:
$\frac{2}{AE} = \frac{AE}{6}$.
Решим это уравнение относительно $AE$:
$AE^2 = 2 \cdot 6 = 12$
$AE = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = AE \cdot BE = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $12\sqrt{3}$.