Номер 349, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

349. Дан равнобедренный треугольник ABC, $AB = BC = 20$. Площадь треугольника равна 160. Высоты BK и AM пересекаются в точке H. Найдите площадь треугольника ABH.

Поскольку $ABC$ — равнобедренный треугольник с $AB = BC = 20$, высота $BK$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой и биссектрисой. Точка $H$ является точкой пересечения высот (ортоцентром) треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через сторону $BC$ и проведенную к ней высоту $AM$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$ Подставим известные значения: $160 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AM$ $160 = 10 \cdot AM$ Отсюда находим длину высоты $AM$: $AM = 16$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. Так как $AM$ — высота к стороне $BC$, то $\angle AMB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем длину отрезка $BM$: $AB^2 = AM^2 + BM^2$ $20^2 = 16^2 + BM^2$ $400 = 256 + BM^2$ $BM^2 = 400 - 256 = 144$ $BM = \sqrt{144} = 12$

Точка $M$ лежит на стороне $BC$. Зная $BC$ и $BM$, найдем длину отрезка $MC$: $MC = BC - BM = 20 - 12 = 8$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину основания $AC$: $AC^2 = AM^2 + MC^2$ $AC^2 = 16^2 + 8^2 = 256 + 64 = 320$ $AC = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$

Так как высота $BK$ в равнобедренном треугольнике является и медианой, точка $K$ — середина основания $AC$. $AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{5}}{2} = 4\sqrt{5}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ ($\angle BKC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BK$: $BC^2 = BK^2 + KC^2$ $20^2 = BK^2 + (4\sqrt{5})^2$ $400 = BK^2 + 16 \cdot 5 = BK^2 + 80$ $BK^2 = 400 - 80 = 320$ $BK = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$

Для нахождения площади треугольника $ABH$ нам нужно найти длину отрезка $BH$. Для этого рассмотрим подобные треугольники. Сравним прямоугольные треугольники $AKH$ и $BKC$:

• $\angle AKH = \angle BKC = 90^\circ$.
• В прямоугольном треугольнике $AMC$, $\angle MAC = 90^\circ - \angle C$. Угол $\angle HAK$ совпадает с $\angle MAC$.
• В прямоугольном треугольнике $BKC$, $\angle KBC = 90^\circ - \angle C$.

Следовательно, $\angle HAK = \angle KBC$, и треугольники $AKH$ и $BKC$ подобны по двум углам ($\triangle AKH \sim \triangle BKC$). Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{KH}{KC} = \frac{AK}{BK}$ Подставим известные значения: $\frac{KH}{4\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{8\sqrt{5}}$ $\frac{KH}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ $KH = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Теперь найдем длину отрезка $BH$: $BH = BK - KH = 8\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

Площадь треугольника $ABH$ можно вычислить, приняв $BH$ за основание. Так как $BH$ лежит на высоте $BK$, которая перпендикулярна $AC$ (и, следовательно, отрезку $AK$), то высотой треугольника $ABH$, проведенной из вершины $A$ к основанию $BH$, будет отрезок $AK$. $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AK$ $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 60.