Тест 2, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

По данным на рисунке найдите длину отрезка $KM$.

Для того чтобы найти длину отрезка $KM$, рассмотрим два треугольника, показанных на рисунке: $\triangle ABC$ и $\triangle KMB$.

По условию задачи, угол $\angle C$ в треугольнике $\triangle ABC$ является прямым, и угол $\angle M$ в треугольнике $\triangle KMB$ также является прямым. Это означает, что отрезки $AC$ и $KM$ перпендикулярны отрезку $CB$. Так как две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой, мы можем заключить, что $AC \parallel KM$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KMB$. Они подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
2. $\angle ACB = \angle KMB = 90^\circ$, так как оба угла прямые.
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle KMB$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Запишем пропорцию для катетов:
$\frac{KM}{AC} = \frac{MB}{CB}$

Из данных на рисунке нам известны следующие длины:
$AC = 6$
$MB = 6$
$CM = 3$
Длину катета $CB$ треугольника $\triangle ABC$ можно найти как сумму длин отрезков $CM$ и $MB$:
$CB = CM + MB = 3 + 6 = 9$

Подставим все известные значения в нашу пропорцию:
$\frac{KM}{6} = \frac{6}{9}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину $KM$:
$KM = 6 \cdot \frac{6}{9} = \frac{36}{9} = 4$

Ответ: 4