Номер 2, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. $\triangle ABC \sim \triangle MNP$, $\triangle MNP \sim \triangle FEK$. Найдите:

а) $x$ и $y$;

б) $t$ и $z$;

в) $P_{ABC} : P_{FEK}$.

а) x и y;

По условию дано, что треугольник ABC подобен треугольнику MNP ($ \triangle ABC \sim \triangle MNP $). В подобных треугольниках отношения соответственных сторон равны. Соответствие вершин определяется порядком их записи в условии подобия и равными углами, отмеченными на рисунке (угол A равен углу M, угол C равен углу P). Следовательно, можем составить пропорцию:

$ \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{AC}{MP} $

Подставляем известные из рисунка значения длин сторон:

$ \frac{6}{3} = \frac{4}{x} = \frac{y}{4} $

Из первого равенства $ \frac{6}{3} = 2 $ находим коэффициент подобия $ k_1 = 2 $.
Теперь, используя коэффициент подобия, найдем $x$ и $y$.

Из отношения $ \frac{4}{x} = 2 $ следует, что $ 2x = 4 $, откуда $ x = 2 $.

Из отношения $ \frac{y}{4} = 2 $ следует, что $ y = 2 \cdot 4 $, откуда $ y = 8 $.

Ответ: $x=2, y=8$.

б) t и z;

По условию дано, что треугольник MNP подобен треугольнику FEK ($ \triangle MNP \sim \triangle FEK $). Соответствие вершин: M ↔ F, N ↔ E, P ↔ K. Запишем пропорцию для соответственных сторон:

$ \frac{MN}{FE} = \frac{NP}{EK} = \frac{MP}{FK} $

Подставляем известные значения, включая найденное в пункте а) значение $ x=NP=2 $:

$ \frac{3}{t} = \frac{2}{6} = \frac{4}{z} $

Из среднего отношения находим коэффициент подобия $ k_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
Теперь найдем $t$ и $z$.

Из отношения $ \frac{3}{t} = \frac{1}{3} $ следует, что $ t = 3 \cdot 3 $, откуда $ t = 9 $.

Из отношения $ \frac{4}{z} = \frac{1}{3} $ следует, что $ z = 4 \cdot 3 $, откуда $ z = 12 $.

Ответ: $t=9, z=12$.

в) $P_{ABC} : P_{FEK}$;

Поскольку $ \triangle ABC \sim \triangle MNP $ и $ \triangle MNP \sim \triangle FEK $, то по свойству транзитивности подобия $ \triangle ABC \sim \triangle FEK $. Отношение периметров подобных треугольников равно их коэффициенту подобия. Найдем коэффициент подобия $k_3$ для $ \triangle ABC $ и $ \triangle FEK $, разделив длины соответственных сторон.

$ k_3 = \frac{AB}{FE} = \frac{BC}{EK} = \frac{AC}{FK} $

Используя ранее найденные значения $ y=AC=8 $, $ t=FE=9 $, $ z=FK=12 $, подставим их в любое из отношений:

$ k_3 = \frac{AB}{FE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $

Таким образом, отношение периметров равно коэффициенту подобия:

$ \frac{P_{ABC}}{P_{FEK}} = k_3 = \frac{2}{3} $

Для проверки можно вычислить периметры обоих треугольников:
$ P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 4 + 8 = 18 $
$ P_{FEK} = FE + EK + FK = 9 + 6 + 12 = 27 $
Их отношение: $ \frac{P_{ABC}}{P_{FEK}} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $2:3$.