Номер 352, страница 165 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

352. На каждом из рисунков 330, а)—в) из точки $A$ проведена касательная к окружности с центром в точке $O$. Найдите величину угла, отмеченного знаком вопроса.

а) На рисунке а) имеется угол $40^\circ$ при вершине $A$. Искомый угол $?$ находится при вершине $O$.

б) На рисунке б) имеется угол $145^\circ$ при вершине $O$ (угол $\angle COB$). Искомый угол $?$ находится при вершине $A$.

в) На рисунке в) имеется угол $59^\circ$ при вершине $O$ (угол $\angle BOA$). Искомый угол $?$ находится при вершине $A$.

Рис. 330

а)

Рассмотрим треугольник $ABO$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OB$ (радиус) перпендикулярен отрезку $AB$ (касательная), и угол $\angle OBA$ является прямым: $\angle OBA = 90^\circ$.

Треугольник $ABO$ является прямоугольным. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для треугольника $ABO$ имеем: $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$.

По условию $\angle OAB = 40^\circ$. Подставим известные значения в формулу:

$40^\circ + 90^\circ + \angle AOB = 180^\circ$

$130^\circ + \angle AOB = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

б)

Рассмотрим треугольник $ABO$.

По свойству касательной, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания $B$. Это означает, что треугольник $ABO$ является прямоугольным, и $\angle OBA = 90^\circ$.

Из рисунка видно, что точки $C$, $O$ и $A$ лежат на одной прямой, следовательно, угол $\angle COA$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Этот развернутый угол состоит из двух смежных углов: $\angle COB$ и $\angle AOB$. Таким образом, их сумма равна $180^\circ$: $\angle COB + \angle AOB = 180^\circ$.

По условию $\angle COB = 145^\circ$. Найдем величину угла $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$. Сумма его острых углов ($\angle OAB$ и $\angle AOB$) равна $90^\circ$:

$\angle OAB + \angle AOB = 90^\circ$.

Найдем искомый угол $\angle OAB$, отмеченный знаком вопроса:

$\angle OAB = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Ответ: $55^\circ$.

в)

Из точки $A$ к окружности проведены две касательные, $AC$ и $AB$, в точках $C$ и $B$ соответственно.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle OCA = 90^\circ$ и $\angle OBA = 90^\circ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OAC$ и $\triangle OAB$.

У этих треугольников общая гипотенуза $OA$, а катеты $OC$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OC = OB$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OAB$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Нас интересуют углы $\angle OAC$ (отмечен знаком вопроса) и $\angle OAB$, а также углы $\angle AOC$ и $\angle AOB$. Таким образом, $\angle OAC = \angle OAB$ и $\angle AOC = \angle AOB$.

По условию задачи $\angle AOB = 59^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$:

$\angle OAB + \angle AOB = 90^\circ$.

Найдем угол $\angle OAB$:

$\angle OAB = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

Так как мы установили, что $\angle OAC = \angle OAB$, то искомый угол $\angle OAC$ также равен $31^\circ$.

Ответ: $31^\circ$.