Номер 358, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

358. Окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $BAC$, $B$ и $C$ — точки касания. Отрезки $AO$ и $BC$ пересекаются в точке $K$, $OK = 2$ см, $OB = 4$ см. Найдите длину отрезка $AK$.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $BAC$, ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Так как $B$ — точка касания окружности и стороны угла $AB$, то радиус $OB$ перпендикулярен стороне $AB$. Таким образом, треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle OBA = 90^\circ$).

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, $AB = AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию (в нашем случае это $AK$, являющаяся частью биссектрисы $AO$), является также высотой. Значит, $AK \perp BC$. Так как точки $A, K, O$ лежат на одной прямой, то и $AO \perp BC$. Угол между отрезками $AO$ и $BC$ в точке их пересечения $K$ прямой: $\angle OKB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBA$. В нем $OA$ — гипотенуза, а $OB$ и $AB$ — катеты. Отрезок $BK$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $OA$.

В прямоугольном треугольнике действует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $OB$ его проекцией на гипотенузу $OA$ является отрезок $OK$. Следовательно, справедливо равенство:$OB^2 = OA \cdot OK$

Подставим в это равенство известные из условия значения: $OB = 4$ см и $OK = 2$ см.$4^2 = OA \cdot 2$$16 = 2 \cdot OA$$OA = \frac{16}{2} = 8$ см.

Точка $K$ лежит на отрезке $AO$, поэтому длина отрезка $AO$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $OK$:$AO = AK + OK$Отсюда находим искомую длину отрезка $AK$:$AK = AO - OK = 8 - 2 = 6$ см.

Ответ: 6 см.