Номер 365, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

365. Найдите геометрическое место центров окружностей, если все окружности проходят через две данные точки $A$ и $B$.

Пусть даны две различные точки $A$ и $B$. Нам нужно найти геометрическое место центров всех окружностей, которые проходят через эти две точки.

Обозначим центр произвольной окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, как точку $O$, а её радиус — как $R$.

По определению окружности, все её точки находятся на одинаковом расстоянии (равном радиусу) от центра. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на данной окружности, расстояния от центра $O$ до этих точек равны радиусу:
$OA = R$
$OB = R$

Из этих равенств следует, что $OA = OB$. Это означает, что любая точка $O$, являющаяся центром искомой окружности, равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. В нашем случае это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Теперь докажем, что любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.
Пусть точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от концов отрезка: $MA = MB$. Обозначим это расстояние как $r$. Если мы построим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $r$, то обе точки, $A$ и $B$, будут лежать на этой окружности, так как их расстояние до центра $M$ равно радиусу $r$.

Таким образом, мы установили, что множество центров всех окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$, в точности совпадает с множеством точек серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.