Номер 362, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

362. На координатной плоскости задана окружность с центром в точке $P(3; 2)$ и радиусом, равным 2. Из точки $A(-2; 0)$ к окружности проведена касательная, отличная от оси абсцисс, которая касается окружности в точке $B$. Найдите площадь треугольника APB.

По условию задачи дана окружность с центром в точке $P(3; 2)$ и радиусом $r = 2$. Из точки $A(-2; 0)$ к этой окружности проведена касательная, которая касается окружности в точке $B$. Необходимо найти площадь треугольника $APB$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Отрезок $PB$ соединяет центр окружности $P$ с точкой касания $B$, следовательно, $PB$ является радиусом окружности. Длина отрезка $PB$ равна $2$.

Отрезок $AB$ является частью касательной к окружности. По основному свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, угол $\angle PBA$ прямой, то есть $\angle PBA = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $APB$ — прямоугольный, где $PB$ и $AB$ — катеты, а $AP$ — гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S_{APB} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot AB$

Мы знаем длину катета $PB = r = 2$. Чтобы найти площадь, нам нужно вычислить длину катета $AB$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: $AP^2 = AB^2 + PB^2$.

Сначала найдем квадрат длины гипотенузы $AP$, используя формулу расстояния между точками для $A(-2; 0)$ и $P(3; 2)$: $AP^2 = (x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2 = (3 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 = (3+2)^2 + 2^2 = 5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$.

Теперь из теоремы Пифагора выразим и найдем длину катета $AB$: $AB^2 = AP^2 - PB^2 = 29 - 2^2 = 29 - 4 = 25$ $AB = \sqrt{25} = 5$

Наконец, подставляем найденные длины катетов в формулу площади треугольника: $S_{APB} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5$

Ответ: 5