Номер 364, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

364. При помощи циркуля и линейки впишите в данный угол $A$ окружность данного радиуса $R$.

Для того чтобы вписать в данный угол A окружность заданного радиуса $R$, необходимо найти центр этой окружности. Центр окружности, вписанной в угол, должен удовлетворять двум условиям:

1. Он должен лежать на биссектрисе этого угла, так как все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.
2. Он должен находиться на расстоянии $R$ от каждой из сторон угла.

Исходя из этих свойств, построение с помощью циркуля и линейки выполняется следующим образом:

1. Построение биссектрисы угла A.
   Установим ножку циркуля в вершину угла A и проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны угла в двух точках (назовём их B и C). Затем из точек B и C проведём две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения назовём D. Проведём луч AD с помощью линейки. Этот луч является биссектрисой угла A.
2. Построение прямой, параллельной одной из сторон угла на расстоянии $R$.
   Выберем на одной из сторон угла (например, на луче AC) произвольную точку M. В этой точке M с помощью циркуля и линейки построим перпендикуляр к стороне AC. На этом перпендикуляре отложим отрезок MP, равный данному радиусу $R$, так, чтобы точка P находилась внутри угла.
3. Через точку P проведём прямую, параллельную стороне AC. Для этого в точке P построим перпендикуляр к прямой MP. Эта новая прямая будет параллельна стороне AC, и все её точки будут находиться на расстоянии $R$ от этой стороны.
4. Нахождение центра окружности.
   Точка пересечения построенной биссектрисы AD и прямой, параллельной стороне AC, будет являться искомым центром окружности. Обозначим эту точку O. По построению, точка O лежит на биссектрисе (значит, равноудалена от обеих сторон угла) и находится на расстоянии $R$ от стороны AC. Следовательно, расстояние от точки O до второй стороны AB также равно $R$.
5. Построение окружности.
   Установим ножку циркуля в найденный центр O, выставим раствор циркуля равным данному радиусу $R$ и проведём окружность. Эта окружность будет касаться обеих сторон угла A.

Таким образом, построение завершено.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения центра окружности, который является точкой пересечения биссектрисы данного угла и прямой, параллельной одной из его сторон и отстоящей от нее на расстояние $R$. После нахождения центра искомая окружность строится с радиусом $R$.