Номер 361, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

361. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Окружность касается двух меньших сторон треугольника, а ее центр лежит на большей стороне. Найдите длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны имеют длины $a=15$, $b=12$ и $c=18$. Согласно условию, окружность касается двух меньших сторон, то есть сторон длиной 12 и 15. Пусть это будут стороны $AC=12$ и $BC=15$. Тогда большая сторона — это $AB=18$. Центр окружности, обозначим его точкой $O$, лежит на стороне $AB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в нашем случае, от прямых, содержащих стороны $AC$ и $BC$), является биссектрисой угла между ними. Поскольку окружность с центром $O$ касается сторон $AC$ и $BC$, расстояния от точки $O$ до этих сторон равны радиусу окружности. Следовательно, точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$ и лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$.

Таким образом, точка $O$ — это точка пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$. Отрезок $CO$ является биссектрисой треугольника $ABC$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $CO$ делит сторону $AB$ на отрезки $AO$ и $BO$. Это свойство можно записать в виде пропорции: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC} $$

Подставим известные длины сторон в эту формулу: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{12}{15} $$ Сократим полученную дробь: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{4}{5} $$ Из этого соотношения мы можем выразить одну длину через другую: $AO = \frac{4}{5} BO$.

Также мы знаем, что точка $O$ лежит на стороне $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $BO$ равна длине стороны $AB$: $$ AO + BO = 18 $$

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение для $AO$ во второе уравнение: $$ \frac{4}{5} BO + BO = 18 $$ $$ (\frac{4}{5} + 1) BO = 18 $$ $$ \frac{9}{5} BO = 18 $$ Теперь найдем длину отрезка $BO$: $$ BO = 18 \cdot \frac{5}{9} = 2 \cdot 5 = 10 $$ Зная $BO$, найдем длину отрезка $AO$: $$ AO = 18 - BO = 18 - 10 = 8 $$

Итак, центр окружности делит большую сторону на отрезки длиной 8 и 10.

Ответ: 8 и 10.