Номер 356, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

356. Окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, $\angle B = 56^{\circ}$, $\angle C = 74^{\circ}$ (рис. 334). Найдите $\angle ALB$.

Рис. 334

Для решения задачи нам нужно найти величину угла $ \angle ALB $. Точка $ L $ является точкой касания вписанной окружности со стороной $ BC $.

1. Найдём угол $ \angle A $ треугольника $ ABC $.
Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Нам даны два угла: $ \angle B = 56^\circ $ и $ \angle C = 74^\circ $.
Следовательно, угол $ \angle A $ (или $ \angle BAC $) равен:
$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (56^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.

2. Воспользуемся свойством угла между стороной и отрезком к точке касания.
Существует свойство, связывающее угол, образованный стороной треугольника и отрезком, соединяющим вершину с точкой касания вписанной окружности на противоположной стороне, с двумя другими углами треугольника. Для отрезка $ AL $, где $ L $ — точка касания на стороне $ BC $, угол $ \angle CAL $ можно вычислить по формуле:
$ \angle CAL = \frac{|\angle C - \angle B|}{2} $
Подставим известные значения углов $ \angle B $ и $ \angle C $:
$ \angle CAL = \frac{|74^\circ - 56^\circ|}{2} = \frac{18^\circ}{2} = 9^\circ $.

3. Найдём угол $ \angle ALC $ в треугольнике $ ALC $.
Теперь рассмотрим треугольник $ ALC $. Нам известны два его угла:
$ \angle ACL = \angle C = 74^\circ $
$ \angle CAL = 9^\circ $ (из предыдущего шага)
Сумма углов в треугольнике $ ALC $ равна $ 180^\circ $, поэтому:
$ \angle ALC = 180^\circ - (\angle ACL + \angle CAL) = 180^\circ - (74^\circ + 9^\circ) = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ $.

4. Найдём искомый угол $ \angle ALB $.
Углы $ \angle ALB $ и $ \angle ALC $ являются смежными, так как точки $ B, L, C $ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.
$ \angle ALB + \angle ALC = 180^\circ $
Отсюда находим $ \angle ALB $:
$ \angle ALB = 180^\circ - \angle ALC = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ $.

Ответ: $ 83^\circ $.