Тест 2, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

А и В — точки касания.

Найдите $\angle BAO$.

а) $30^{\circ}$; б) $35^{\circ}$; в) $45^{\circ}$; г) $15^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных, проведенных к окружности, и свойством радиуса, проведенного в точку касания.

Шаг 1: Анализ треугольника $\triangle AMB$

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки (точки M), длины отрезков этих касательных от точки M до точек касания (A и B) равны. То есть, $MA = MB$.

Это означает, что треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle MAB = \angle MBA$

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная, что по условию $\angle AMB = 70^\circ$, мы можем найти углы при основании $\triangle AMB$:

$\angle MAB = \angle MBA = \frac{180^\circ - \angle AMB}{2} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Шаг 2: Использование свойства радиуса в точке касания

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Рассмотрим радиус $OA$, проведенный в точку касания $A$. Он перпендикулярен касательной $MA$.

Следовательно, угол между радиусом и касательной равен $90^\circ$:

$\angle OAM = 90^\circ$

Шаг 3: Вычисление искомого угла $\angle BAO$

Угол $\angle OAM$ состоит из двух углов: искомого угла $\angle BAO$ (который также можно обозначить как $\angle OAB$) и угла $\angle MAB$, который мы нашли в первом шаге.

$\angle OAM = \angle BAO + \angle MAB$

Из этого равенства мы можем выразить искомый угол $\angle BAO$:

$\angle BAO = \angle OAM - \angle MAB$

Подставим известные нам значения:

$\angle BAO = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$

Таким образом, искомый угол $\angle BAO$ равен $35^\circ$, что соответствует варианту б).

Ответ: б) 35°.