Номер 3, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

3. Найдите длину отрезка $x$.

а) Изображен треугольник $ABC$. Точка $K$ лежит на стороне $AC$.

Длины отрезков: $AK = 4$, $KC = 5$, $AB = x$.

Угол $\angle ABK$ равен углу $\angle KBC$ (отмечены двумя дугами). Угол $\angle C$ отмечен одной дугой.

б) Изображен треугольник $ABC$. Точка $K$ лежит на стороне $AB$.

Длины отрезков: $AK = x$, $KB = 12$, $BC = 18$.

Угол $\angle A$ равен углу $\angle BKC$ (отмечены одной дугой).

в) Изображен треугольник $ABC$. Точка $K$ лежит на стороне $AC$.

Длины отрезков: $AK = x$, $KC = 10$, $AB = 12$.

Угол $\angle A$ отмечен одной дугой.

Угол $\angle ABK$ равен углу $\angle KBC$ (отмечены двумя дугами).

a) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ABK$.

У этих треугольников угол $A$ является общим. Также по условию задачи угол $ABK$ равен углу $C$ (это показано одинаковыми дугами на чертеже), то есть $\angle ABK = \angle ACB$.

Следовательно, треугольник $ABK$ подобен треугольнику $ACB$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

$\triangle ABK \sim \triangle ACB$

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Важно правильно сопоставить вершины: вершине $A$ соответствует вершина $A$, вершине $B$ треугольника $ABK$ соответствует вершина $C$ треугольника $ACB$, а вершине $K$ — вершина $B$.

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{CB}$

Возьмем равенство первых двух отношений: $\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB}$.

Используя свойство пропорции, получаем: $AB^2 = AC \cdot AK$.

По условию задачи, $AB = x$, $AK = 4$. Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KC$:

$AC = AK + KC = 4 + 5 = 9$.

Подставим известные значения в полученное уравнение:

$x^2 = 9 \cdot 4$

$x^2 = 36$

Так как $x$ — это длина отрезка, его значение должно быть положительным. Извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6.

б) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CBK$.

У этих треугольников угол $B$ является общим. Также по условию задачи угол $A$ равен углу $KCB$ (это показано одинаковыми дугами на чертеже), то есть $\angle BAC = \angle KCB$.

Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $CBK$ по двум углам.

$\triangle ABC \sim \triangle CBK$

Сопоставим соответствующие вершины: вершине $A$ соответствует вершина $C$ треугольника $CBK$, вершине $B$ — вершина $B$, вершине $C$ — вершина $K$.

Запишем пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BK} = \frac{AC}{CK}$

Возьмем первую часть пропорции: $\frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BK}$.

По условию, $AK = x$, $BK = 12$, $BC = 18$. Длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AK$ и $BK$:

$AB = AK + BK = x + 12$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{x + 12}{18} = \frac{18}{12}$

Упростим правую часть дроби: $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

$\frac{x + 12}{18} = \frac{3}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$2 \cdot (x + 12) = 18 \cdot 3$

$2x + 24 = 54$

$2x = 54 - 24$

$2x = 30$

$x = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: 15.

в) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ABK$.

Угол $A$ у этих треугольников общий. По условию, угол $ABK$ равен углу $C$, то есть $\angle ABK = \angle ACB$.

Таким образом, $\triangle ABK \sim \triangle ACB$ по двум углам.

Сопоставляя соответствующие вершины (A↔A, B↔C, K↔B), запишем пропорцию для сторон:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB}$

Отсюда получаем равенство: $AB^2 = AC \cdot AK$.

Из условия задачи нам известно, что $AB = 12$, $AK = x$ и $KC = 10$. Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KC$:

$AC = AK + KC = x + 10$.

Подставим известные величины в наше уравнение:

$12^2 = (x + 10) \cdot x$

$144 = x^2 + 10x$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 10x - 144 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -144, а сумма равна -10. Эти числа — -18 и 8.

$(x + 18)(x - 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -18$ и $x_2 = 8$.

Поскольку $x$ обозначает длину отрезка, его значение не может быть отрицательным. Следовательно, нам подходит только положительный корень.

$x = 8$.

Ответ: 8.