Номер 357, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

357. Окружность с центром в точке $O$ касается стороны $AB$ треугольника $AOB$ в точке $K$ и пересекает сторону $OB$ в точке $C$ (рис. 335); $BC = 2$ см, $AK = 2$ см, $KB = 4$ см. Найдите:

а) $OB$;

б) $S_{AOB}$.

Рис. 335

а) OB;

По условию задачи, окружность с центром в точке O касается стороны AB треугольника AOB в точке K. Из свойства касательной к окружности известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус OK перпендикулярен стороне AB. Это означает, что треугольник OKB является прямоугольным, где $\angle OKB = 90^\circ$.

Пусть R — радиус окружности. Тогда катет $OK = R$. Длина второго катета дана по условию: $KB = 4$ см. Гипотенузой в прямоугольном треугольнике OKB является сторона OB.

Применим теорему Пифагора к треугольнику OKB: $OB^2 = OK^2 + KB^2$ Подставив известные значения, получим: $OB^2 = R^2 + 4^2 = R^2 + 16$

Также по условию, окружность пересекает сторону OB в точке C. Поскольку O — центр окружности, отрезок OC является её радиусом, то есть $OC = R$. Точка C лежит на отрезке OB, поэтому длина отрезка OB равна сумме длин отрезков OC и CB: $OB = OC + CB$

Из условия известно, что $BC = 2$ см. Подставим значения в формулу для OB: $OB = R + 2$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными R и OB: $OB^2 = R^2 + 16$ и $OB = R + 2$. Подставим второе уравнение в первое: $(R + 2)^2 = R^2 + 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно R: $R^2 + 4R + 4 = R^2 + 16$ $4R = 16 - 4$ $4R = 12$ $R = \frac{12}{4} = 3$ см.

Зная радиус R, мы можем найти длину стороны OB: $OB = R + 2 = 3 + 2 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

б) S_AOB.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В треугольнике AOB в качестве основания возьмем сторону AB. Длина основания AB равна сумме длин отрезков AK и KB: $AB = AK + KB = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6$ см.

Высотой, проведенной из вершины O к основанию AB, является перпендикуляр OK. Как мы установили в пункте а), $OK \perp AB$. Длина высоты OK равна радиусу окружности R.

Из пункта а) мы знаем, что радиус $R = 3$ см, следовательно, высота $OK = 3$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника AOB: $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ см².

Ответ: 9 см².