Номер 359, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

359. Точка M лежит вне окружности с центром в точке O. Точка K принадлежит окружности. Докажите, что если $\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ$, то прямая MK — касательная к окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle OKM$, образованный центром окружности $O$, точкой на окружности $K$ и точкой $M$ вне окружности.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $\triangle OKM$ справедливо равенство:
$\angle OKM + \angle KMO + \angle MOK = 180^\circ$

По условию задачи нам известно, что $\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ$.

Подставим это значение в уравнение суммы углов треугольника:
$\angle OKM + 90^\circ = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $\angle OKM$:
$\angle OKM = 180^\circ - 90^\circ$
$\angle OKM = 90^\circ$

Так как $O$ — центр окружности, а $K$ — точка на окружности, то отрезок $OK$ является радиусом этой окружности.

Мы получили, что угол между радиусом $OK$ и прямой $MK$ в точке $K$ равен $90^\circ$. Это означает, что радиус $OK$ перпендикулярен прямой $MK$.

По признаку касательной к окружности: если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.

Следовательно, прямая $MK$ — касательная к окружности в точке $K$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.