Тест 2, страница 170 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Три окружности с диаметрами 6 см, 8 см и 10 см попарно касаются друг друга. Найдите периметр треугольника $O_1O_2O_3$, где $O_1, O_2, O_3$ — центры окружностей.

а) 48 см;

б) 32 см;

в) 24 см;

г) 16 см.

Для того чтобы найти периметр треугольника $O_1O_2O_3$, необходимо найти длины его сторон. Вершинами этого треугольника являются центры трех попарно касающихся окружностей.

Шаг 1: Находим радиусы окружностей. Радиус ($r$) равен половине диаметра ($d$). В условии даны диаметры: 10 см, 8 см и 6 см.
Найдем соответствующие радиусы, обозначив их $r_1, r_2, r_3$:
$r_1 = 10 \text{ см} / 2 = 5$ см.
$r_2 = 8 \text{ см} / 2 = 4$ см.
$r_3 = 6 \text{ см} / 2 = 3$ см.

Шаг 2: Находим длины сторон треугольника. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами двух любых касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Стороны треугольника $O_1O_2O_3$ будут равны суммам радиусов соответствующих пар окружностей.
Длина одной стороны (например, между центрами окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$): $5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9$ см.
Длина второй стороны (между центрами окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$): $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7$ см.
Длина третьей стороны (между центрами окружностей с радиусами $r_3$ и $r_1$): $3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8$ см.

Шаг 3: Находим периметр треугольника. Периметр ($P$) равен сумме длин всех его сторон.
$P_{O_1O_2O_3} = 9 \text{ см} + 7 \text{ см} + 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Также можно воспользоваться более быстрым методом: периметр треугольника, образованного центрами трех попарно касающихся окружностей, равен сумме их диаметров.
$P = d_1 + d_2 + d_3 = 10 \text{ см} + 8 \text{ см} + 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Сравнивая результат с вариантами ответов, приходим к выводу, что верный ответ — 24 см.

Ответ: 24 см.