Номер 372, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

372. Диаметры двух концентрических окружностей равны 6 м и 10 м. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности (рис. 343). Найдите длину хорды $AB$.

Рис. 343

Пусть $O$ — общий центр двух концентрических окружностей. Обозначим радиус меньшей окружности как $r_1$, а радиус большей окружности как $r_2$.

Из условия задачи известны диаметры окружностей. Найдем их радиусы:
Радиус меньшей окружности: $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.
Радиус большей окружности: $r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAK$, образованный центром окружностей $O$, точкой $A$ на большей окружности (один из концов хорды) и точкой касания $K$.

Отрезок $OA$ является радиусом большей окружности, поэтому $OA = r_2 = 5$ м. Отрезок $OK$ является радиусом меньшей окружности, поэтому $OK = r_1 = 3$ м. Хорда $AB$ касается меньшей окружности в точке $K$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK \perp AB$, и треугольник $\triangle OAK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OAK$, где $OA$ — гипотенуза, а $OK$ и $AK$ — катеты:
$OA^2 = OK^2 + AK^2$
Подставим известные значения:
$5^2 = 3^2 + AK^2$
$25 = 9 + AK^2$
$AK^2 = 25 - 9$
$AK^2 = 16$
$AK = \sqrt{16} = 4$ м.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Так как $OK \perp AB$, точка $K$ является серединой хорды $AB$. Таким образом, длина всей хорды $AB$ равна удвоенной длине отрезка $AK$:
$AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 4 = 8$ м.

Ответ: 8 м.