Моделирование, страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

На рисунке 313 изображен план участка под Нёсвижским замком в масштабе 1 : 1500. При помощи линейки определите размеры внутреннего двора (отмечен коричневым цветом) и найдите его площадь, используя формулы площади прямоугольника и трапеции. Найдите периметр и площадь реального участка при помощи свойств подобных многоугольников.

Рис. 313

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: измерить размеры фигуры на плане, разбить ее на простые геометрические фигуры (прямоугольник и трапецию), вычислить их площади, а затем, используя масштаб, найти реальные периметр и площадь участка.

Поскольку измерение линейкой на экране зависит от его разрешения и масштаба изображения, мы произведем измерения в условных единицах (сантиметрах), сохраняя пропорции, и на их основе проведем все вычисления. Разделим фигуру внутреннего двора (отмечена коричневым цветом) на две части: прямоугольник слева и трапецию справа.

Произведем замеры сторон фигур на плане с помощью линейки. Допустим, измерения дали следующие результаты:

• Для левого прямоугольника:
  Высота $a = 3.0 \text{ см}$
  Ширина $b = 1.7 \text{ см}$
• Для правой трапеции:
  Верхнее основание $c = 6.7 \text{ см}$
  Нижнее основание $d = 7.7 \text{ см}$
  Высота $h = 5.2 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь каждой фигуры и общую площадь на плане.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:

$S_{пр} = 3.0 \text{ см} \cdot 1.7 \text{ см} = 5.1 \text{ см}^2$

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{c+d}{2} \cdot h$:

$S_{тр} = \frac{6.7 \text{ см} + 7.7 \text{ см}}{2} \cdot 5.2 \text{ см} = \frac{14.4 \text{ см}}{2} \cdot 5.2 \text{ см} = 7.2 \text{ см} \cdot 5.2 \text{ см} = 37.44 \text{ см}^2$

Общая площадь фигуры на плане равна сумме площадей прямоугольника и трапеции:

$S_{плана} = S_{пр} + S_{тр} = 5.1 \text{ см}^2 + 37.44 \text{ см}^2 = 42.54 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь внутреннего двора на плане составляет $42.54 \text{ см}^2$.

Масштаб плана составляет $1 : 1500$. Это означает, что $1 \text{ см}$ на плане соответствует $1500 \text{ см}$ (или $15 \text{ м}$) в реальности. Коэффициент подобия $k = 1500$.

Найдём периметр. Сначала вычислим периметр фигуры на плане. Для этого нужно сложить длины всех ее внешних сторон:

• Верхняя сторона: $1.7 \text{ см} + 6.7 \text{ см} = 8.4 \text{ см}$
• Нижняя сторона: $1.7 \text{ см} + 7.7 \text{ см} = 9.4 \text{ см}$
• Левая вертикальная сторона: $3.0 \text{ см}$
• Правая наклонная сторона (найдем по теореме Пифагора, считая ее гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $h=5.2 \text{ см}$ и $(d-c)=1.0 \text{ см}$): $\sqrt{5.2^2 + (7.7-6.7)^2} = \sqrt{27.04 + 1} = \sqrt{28.04} \approx 5.3 \text{ см}$
• Стороны "выступа" слева: горизонтальная $1.7 \text{ см}$ и вертикальная $(5.2 \text{ см} - 3.0 \text{ см}) = 2.2 \text{ см}$

Периметр на плане $P_{плана}$:

$P_{плана} = 8.4 + 9.4 + 3.0 + 5.3 + 1.7 + 2.2 = 30.0 \text{ см}$

Реальный периметр $P_{реал}$ равен периметру на плане, умноженному на коэффициент подобия:

$P_{реал} = P_{плана} \cdot k = 30.0 \text{ см} \cdot 1500 = 45000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в метры ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):

$P_{реал} = 45000 \text{ см} = 450 \text{ м}$

Найдём площадь. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

$S_{реал} = S_{плана} \cdot k^2 = 42.54 \text{ см}^2 \cdot (1500)^2 = 42.54 \cdot 2250000 = 95715000 \text{ см}^2$

Переведем квадратные сантиметры в квадратные метры ($1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$):

$S_{реал} = \frac{95715000 \text{ см}^2}{10000 \text{ см}^2/\text{м}^2} = 9571.5 \text{ м}^2$

Ответ: Периметр реального участка составляет $450 \text{ м}$, а площадь реального участка — $9571.5 \text{ м}^2$.