Номер 344, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

344. На рисунке 316 $KH = 2$, $HC = 10$, $AH = 5$. Найдите $HM$.

Рис. 316

Из условия задачи и рисунка следует, что отрезки AM и CK являются высотами треугольника ABC, проведенными к сторонам BC и AB соответственно. Точка H является точкой пересечения этих высот, то есть ортоцентром треугольника ABC.

Рассмотрим треугольники ΔAHK и ΔMHC. Мы можем доказать, что они подобны.

1. Угол ∠AHK равен углу ∠MHC, так как они являются вертикальными углами.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAMB (поскольку AM ⊥ BC, то ∠AMB = 90°) и ΔCKB (поскольку CK ⊥ AB, то ∠CKB = 90°). У этих двух треугольников есть общий острый угол ∠B. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет 180°, то третьи углы этих треугольников также должны быть равны. То есть, ∠BAM = ∠BCK.

Угол ∠BAM — это тот же угол, что и ∠HAK.

Угол ∠BCK — это тот же угол, что и ∠MCH.

Следовательно, мы имеем равенство углов: ∠HAK = ∠MCH.

Таким образом, треугольники ΔAHK и ΔMHC имеют по два равных угла (∠AHK = ∠MHC и ∠HAK = ∠MCH), а значит, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия ΔAHK ~ ΔMHC следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Стороны, лежащие напротив равных углов, являются соответствующими.

- Сторона AH лежит напротив угла ∠AKH, а сторона CH лежит напротив равного ему угла ∠CMH.

- Сторона HK лежит напротив угла ∠HAK, а сторона HM лежит напротив равного ему угла ∠MCH.

Составим пропорцию:

$ \frac{AH}{CH} = \frac{HK}{HM} $

Подставим в эту пропорцию известные из условия значения: AH = 5, CH = 10, KH = 2.

$ \frac{5}{10} = \frac{2}{HM} $

Упростим левую часть уравнения:

$ \frac{1}{2} = \frac{2}{HM} $

Теперь, используя основное свойство пропорции, найдем HM:

$ 1 \cdot HM = 2 \cdot 2 $

$ HM = 4 $

Ответ: 4.