Номер 342, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

342. Основания трапеции равны $a$ и $b$. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, параллельного основаниям, который делит трапецию на две равновеликие части.

Обозначим искомую длину отрезка через $x$. Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. Отрезок, параллельный основаниям, делит трапецию на две равновеликие (имеющие равные площади) части. Нам нужно найти длину этого отрезка $x$.

Для решения задачи применим метод достроения трапеции до треугольника. Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке $P$. Это создаст три подобных треугольника, у которых основаниями являются отрезки $a$, $b$ и $x$.

Известно, что площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон (например, оснований). Обозначим площадь самого маленького треугольника (с основанием $b$) как $S_0$. Тогда площади двух других треугольников с основаниями $x$ и $a$ будут равны:

$S_x = S_0 \cdot (\frac{x}{b})^2 = S_0 \frac{x^2}{b^2}$

$S_a = S_0 \cdot (\frac{a}{b})^2 = S_0 \frac{a^2}{b^2}$

Теперь выразим площади двух трапеций, на которые делится исходная. Площадь верхней трапеции (с основаниями $b$ и $x$) равна разности площадей треугольников с основаниями $x$ и $b$:

$S_1 = S_x - S_0 = S_0 \frac{x^2}{b^2} - S_0 = S_0 \frac{x^2 - b^2}{b^2}$

Площадь нижней трапеции (с основаниями $x$ и $a$) равна разности площадей треугольников с основаниями $a$ и $x$:

$S_2 = S_a - S_x = S_0 \frac{a^2}{b^2} - S_0 \frac{x^2}{b^2} = S_0 \frac{a^2 - x^2}{b^2}$

По условию задачи, эти площади равны: $S_1 = S_2$.

$S_0 \frac{x^2 - b^2}{b^2} = S_0 \frac{a^2 - x^2}{b^2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $S_0 / b^2$ (который не равен нулю):

$x^2 - b^2 = a^2 - x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x^2 = a^2 + b^2$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Так как длина $x$ является положительной величиной, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Таким образом, длина искомого отрезка является средним квадратичным длин оснований трапеции.

Ответ: $ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $.