Номер 337, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

337. Через центр равностороннего треугольника (точку пересечения медиан) провели прямые, параллельные его сторонам (рис. 304).

Какую часть площади треугольника ABC занимает часть, занятая голубыми треугольниками?

Рис. 304

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Его центр $O$ — это точка пересечения медиан, которая также является точкой пересечения высот и биссектрис. Известно, что центр $O$ делит каждую высоту (которая в равностороннем треугольнике является и медианой) в отношении $2:1$, считая от вершины. Это означает, что расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника равно $h/3$, где $h$ — высота треугольника.

Согласно условию, через центр $O$ проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Прямая, параллельная стороне $AC$ и проходящая через $O$, будет удалена от стороны $AC$ на расстояние $h/3$. Аналогично для двух других прямых, параллельных сторонам $AB$ и $BC$.

Конструкция, при которой стороны треугольника делятся на три равные части и соответствующие точки соединяются линиями, параллельными сторонам, делит исходный треугольник на 9 меньших, равных (конгруэнтных) равносторонних треугольников. Это в точности та фигура, что изображена на рисунке 304. Центральная точка этой сетки, где сходятся вершины шести внутренних треугольников, совпадает с центром $O$ треугольника $ABC$, так как линии сетки, ближайшие к центрам сторон, как раз и проходят на расстоянии $h/3$ от этих сторон.

Итак, треугольник $ABC$ разделен на 9 одинаковых малых треугольников. Пусть площадь одного такого малого треугольника равна $S_0$. Тогда общая площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей всех девяти малых треугольников:

$S_{ABC} = 9 \cdot S_0$

На рисунке голубым цветом закрашены 3 из этих 9 малых треугольников. Их суммарная площадь, $S_{голубых}$, составляет:

$S_{голубых} = 3 \cdot S_0$

Чтобы найти, какую часть площади треугольника $ABC$ занимает закрашенная область, нужно найти отношение площади голубых треугольников к площади всего треугольника $ABC$:

$\frac{S_{голубых}}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot S_0}{9 \cdot S_0} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Следовательно, голубые треугольники занимают одну третью часть площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.