Номер 331, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

331. На рисунке 298 $\angle C = 90^\circ$, $AC = 6$ м, $BC = 8$ м, $AM = MB$, $KM \perp AB$.

Найдите площадь треугольника $KMB$.

Рис. 298

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Известны длины катетов: $AC = 6$ м и $BC = 8$ м. Для нахождения площади треугольника $KMB$ необходимо найти длины его основания $MB$ и высоты $KM$.

1. Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ в треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ м.

2. Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, так как по условию $AM = MB$. Следовательно, длина отрезка $MB$ равна половине длины $AB$:$MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ м.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle KMB$.

• $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle ACB = 90^\circ$ по условию.
• $\angle KMB = 90^\circ$, так как по условию $KM \perp AB$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, $\triangle KMB \sim \triangle ACB$.

4. Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:$\frac{KM}{AC} = \frac{MB}{BC}$Подставим известные значения, чтобы найти длину $KM$:$\frac{KM}{6} = \frac{5}{8}$Выразим $KM$:$KM = \frac{6 \times 5}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75$ м.

5. Теперь можем вычислить площадь треугольника $KMB$. В этом треугольнике $MB$ является основанием, а $KM$ — высотой. Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.$S_{\triangle KMB} = \frac{1}{2} \times MB \times KM = \frac{1}{2} \times 5 \times 3.75 = 9.375$ м$^2$.

Ответ: $9.375$ м$^2$.