Номер 324, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

324. Дан прямоугольник $ABCD$, у которого $AB = 15$ см, $AD = 30$ см. Точка $M$ лежит на диагонали $BD$ и равноудалена от сторон $BC$ и $CD$. Найдите площадь треугольника $CMD$.

Дано: прямоугольник $ABCD$, $AB = 15$ см, $AD = 30$ см. Точка $M$ лежит на диагонали $BD$ и равноудалена от сторон $BC$ и $CD$.

Найти: площадь треугольника $CMD$.

Решение:

1. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны: $CD = AB = 15$ см и $BC = AD = 30$ см. Угол $\angle C$ прямой, то есть $\angle BCD = 90^\circ$.

2. Площадь треугольника $CMD$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Выберем в качестве основания сторону $CD$. Тогда высотой треугольника будет длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $CD$.

3. По условию, точка $M$ равноудалена от сторон $BC$ и $CD$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на сторону $CD$ (точка $H$ лежит на $CD$) и перпендикуляр $MK$ на сторону $BC$ (точка $K$ лежит на $BC$).

Длина отрезка $MH$ является высотой треугольника $CMD$ к основанию $CD$. По условию $MH = MK$. Обозначим эту равную длину как $h$.

4. Рассмотрим четырехугольник $CKMH$. Так как $\angle C = 90^\circ$, а $MK \perp BC$ и $MH \perp CD$ по построению, то все углы в $CKMH$ прямые. Следовательно, $CKMH$ — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $MH$ и $MK$ равны ($MH = MK = h$), то $CKMH$ является квадратом. Из этого следует, что $CH = MK = h$ и $CK = MH = h$.

5. Точка $M$ лежит на диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$. Диагональ $BD$ является гипотенузой. Найдем тангенс угла $\angle BDC$: $tan(\angle BDC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{CD} = \frac{30}{15} = 2$.

6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MHD$. Угол $\angle MHD = 90^\circ$. Угол $\angle MDH$ является тем же углом, что и $\angle BDC$. Из треугольника $MHD$ имеем: $tan(\angle MDH) = \frac{MH}{DH}$. Так как $tan(\angle MDH) = tan(\angle BDC) = 2$ и $MH = h$, получаем: $2 = \frac{h}{DH}$, откуда $DH = \frac{h}{2}$.

7. Сторона $CD$ состоит из отрезков $CH$ и $DH$: $CD = CH + DH$. Мы знаем, что $CD = 15$ см, из шага 4 мы получили $CH = h$, а из шага 6 — $DH = \frac{h}{2}$. Подставим эти значения в равенство: $15 = h + \frac{h}{2}$ $15 = \frac{3h}{2}$ $3h = 15 \cdot 2 = 30$ $h = \frac{30}{3} = 10$ см.

8. Мы нашли высоту треугольника $CMD$, опущенную на основание $CD$. Она равна $MH = h = 10$ см. Теперь вычислим площадь треугольника: $S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75$ см$^2$.

Ответ: 75 см$^2$.