Номер 328, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

328. а) Периметры двух подобных треугольников относятся как $2 : 3$. Найдите отношение площадей данных треугольников.

б) Площади двух подобных треугольников относятся как $64 : 25$. Найдите отношение периметров этих треугольников.

а) Пусть даны два подобных треугольника. Обозначим их периметры как $P_1$ и $P_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$. Коэффициент подобия обозначим как $k$.
По свойству подобных треугольников, отношение их периметров равно коэффициенту подобия:
$\frac{P_1}{P_2} = k$
По условию задачи, отношение периметров равно $2 : 3$, следовательно:
$k = \frac{2}{3}$
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_1}{S_2} = k^2$
Подставив значение $k$, получим:
$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
Таким образом, отношение площадей данных треугольников составляет $4 : 9$.
Ответ: $4 : 9$.

б) Пусть площади двух подобных треугольников $S_1$ и $S_2$ относятся как $64 : 25$.
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{64}{25}$
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_1}{S_2} = k^2$
Следовательно:
$k^2 = \frac{64}{25}$
Найдем коэффициент подобия $k$, извлекая квадратный корень. Так как коэффициент подобия является отношением длин, он положителен.
$k = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}$
Отношение периметров $P_1$ и $P_2$ подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
$\frac{P_1}{P_2} = k$
Подставив найденное значение $k$, получим:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{8}{5}$
Таким образом, отношение периметров этих треугольников составляет $8 : 5$.
Ответ: $8 : 5$.