Номер 329, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

329. Найдiте отношение площади $\triangle KMN$ к площади $\triangle EPG$ (рис. 296), если $\angle K = \angle E$.

Рис. 296

Рассмотрим треугольники $\triangle KMN$ и $\triangle EPG$, изображенные на рисунке.

По условию задачи $\angle K = \angle E$.

Из рисунка следует, что треугольник $\triangle KMN$ является равнобедренным, так как его стороны $KM$ и $KN$ отмечены одинаковыми метками (одной черточкой). Следовательно, $KM = KN$. Поскольку дано, что $KM = 4$, то и $KN = 4$.

Аналогично, треугольник $\triangle EPG$ является равнобедренным, так как его стороны $EP$ и $EG$ отмечены одинаковыми метками (двумя черточками). Следовательно, $EP = EG$. Поскольку дано, что $EG = 12$, то и $EP = 12$.

Теперь мы можем проверить треугольники $\triangle KMN$ и $\triangle EPG$ на подобие по второму признаку (по двум сторонам и углу между ними). У нас есть равные углы $\angle K$ и $\angle E$. Найдем отношение сторон, прилежащих к этим углам:

$\frac{KM}{EP} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$\frac{KN}{EG} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Так как отношения сторон равны ($\frac{KM}{EP} = \frac{KN}{EG}$) и углы, заключенные между этими сторонами, также равны ($\angle K = \angle E$), то треугольники подобны: $\triangle KMN \sim \triangle EPG$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия — это отношение длин соответственных сторон.

$k = \frac{KM}{EP} = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно:

$\frac{S_{\triangle KMN}}{S_{\triangle EPG}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$