Номер 332, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

332. На рисунке 299 $MN \parallel AC$, $NK \parallel AB$, $MB : AM = 1 : 2$, $S_{ABC} = 360 \text{ см}^2$. Найдите $S_{AMNK}$.

Рис. 299

1. Определение вида четырехугольника AMNK

По условию задачи $MN \parallel AC$. Так как точка K лежит на стороне AC, то $MN \parallel AK$. Также по условию $NK \parallel AB$. Так как точка M лежит на стороне AB, то $NK \parallel AM$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, AMNK — параллелограмм.

2. Нахождение площади треугольника MBN

Рассмотрим треугольники MBN и ABC. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам ($\angle B$ — общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{MB}{AB})^2 $ Из условия известно, что $MB : AM = 1 : 2$. Пусть $MB = x$, тогда $AM = 2x$. Длина стороны $AB = AM + MB = 2x + x = 3x$. Найдем коэффициент подобия: $ k = \frac{MB}{AB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $ Теперь можем найти площадь треугольника MBN: $ S_{MBN} = S_{ABC} \cdot k^2 = 360 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 360 \cdot \frac{1}{9} = 40 $ см².

3. Нахождение площади треугольника NKC

Рассмотрим треугольники NKC и ABC. Так как $NK \parallel AB$, то $\triangle NKC$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам ($\angle C$ — общий, $\angle CNK = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых NK и AB и секущей BC). Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, который можно выразить через отношение сторон BC и NC: $ \frac{S_{NKC}}{S_{ABC}} = (\frac{NC}{BC})^2 $ Из подобия треугольников MBN и ABC (см. пункт 2) следует, что $\frac{BN}{BC} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{3}$. Отсюда $BN = \frac{1}{3}BC$. Тогда $NC = BC - BN = BC - \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC$. Следовательно, отношение $\frac{NC}{BC} = \frac{2}{3}$. Теперь можем найти площадь треугольника NKC: $ S_{NKC} = S_{ABC} \cdot (\frac{NC}{BC})^2 = 360 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 360 \cdot \frac{4}{9} = 40 \cdot 4 = 160 $ см².

4. Вычисление площади параллелограмма AMNK

Площадь всего треугольника ABC складывается из площадей трех фигур: треугольника MBN, треугольника NKC и параллелограмма AMNK. $ S_{ABC} = S_{MBN} + S_{NKC} + S_{AMNK} $ Отсюда площадь параллелограмма AMNK равна: $ S_{AMNK} = S_{ABC} - S_{MBN} - S_{NKC} = 360 - 40 - 160 = 160 $ см².

Ответ: $S_{AMNK} = 160$ см².