Номер 323, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

323. В треугольнике $ABC$ $AC = 48$ см, $BC = 36$ см. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AD : DB = 4 : 3$, $\angle BDC + \angle ACD = 104^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

Обозначим искомый угол $\angle ABC$ как $\beta$. Рассмотрим соотношение сторон $AC$ и $BC$: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3} $$ По условию задачи, точка $D$ делит сторону $AB$ в соотношении: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{4}{3} $$ Поскольку отношение сторон $\frac{AC}{BC}$ равно отношению отрезков $\frac{AD}{DB}$, то по свойству биссектрисы треугольника (обратная теорема) отрезок $CD$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.

Таким образом, $\angle ACD = \angle BCD$. Обозначим $\angle BCA = \gamma$, тогда $\angle ACD = \angle BCD = \frac{\gamma}{2}$.

По условию задачи дано равенство: $$ \angle BDC + \angle ACD = 104^\circ $$ Заменим $\angle ACD$ на $\frac{\gamma}{2}$: $$ \angle BDC + \frac{\gamma}{2} = 104^\circ \quad (*)$$

Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $$ \angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ $$ Подставим известные нам обозначения углов: $\angle DBC = \angle ABC = \beta$ и $\angle BCD = \frac{\gamma}{2}$. $$ \beta + \frac{\gamma}{2} + \angle BDC = 180^\circ $$

Из равенства $(*)$ выразим $\angle BDC$: $$ \angle BDC = 104^\circ - \frac{\gamma}{2} $$ Подставим это выражение в уравнение для суммы углов треугольника $BDC$: $$ \beta + \frac{\gamma}{2} + \left(104^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = 180^\circ $$ Упрощаем выражение: $$ \beta + 104^\circ = 180^\circ $$ Отсюда находим $\beta$: $$ \beta = 180^\circ - 104^\circ $$ $$ \beta = 76^\circ $$ Следовательно, угол $\angle ABC$ равен $76^\circ$.

Ответ: $76^\circ$.