Номер 321, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

321. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 8 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса среднего по величине угла треугольника делит противолежащую сторону.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 7$ см и $c = 8$ см.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол. Следовательно, средний по величине угол треугольника находится напротив средней по длине стороны.

В данном случае стороны равны 6 см, 7 см и 8 см. Средней по длине является сторона, равная 7 см. Пусть это будет сторона $AC$ треугольника $ABC$. Тогда $AC = 7$ см, а две другие стороны, например, $AB = 8$ см и $BC = 6$ см. Средним по величине углом будет угол $\angle B$, который лежит напротив стороны $AC$.

Проведем биссектрису $BL$ угла $\angle B$. Эта биссектриса разделит противолежащую сторону $AC$ на два отрезка: $AL$ и $LC$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Математически это выражается так: $$ \frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} $$

Подставим в эту формулу известные длины сторон $AB = 8$ см и $BC = 6$ см: $$ \frac{AL}{LC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$

Мы получили отношение длин отрезков. Также мы знаем, что их сумма равна длине всей стороны $AC$: $$ AL + LC = AC = 7 \text{ см} $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $AL/LC = 4/3 \Rightarrow 3 \cdot AL = 4 \cdot LC$
2. $AL + LC = 7$

Выразим $AL$ из второго уравнения: $AL = 7 - LC$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 3 \cdot (7 - LC) = 4 \cdot LC $$ $$ 21 - 3 \cdot LC = 4 \cdot LC $$ $$ 21 = 4 \cdot LC + 3 \cdot LC $$ $$ 21 = 7 \cdot LC $$ $$ LC = \frac{21}{7} = 3 \text{ см} $$

Теперь найдем длину второго отрезка $AL$: $$ AL = 7 - LC = 7 - 3 = 4 \text{ см} $$

Таким образом, биссектриса делит сторону длиной 7 см на отрезки 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см.